Hans Walser, [20260107]
Plastische Zahl und Supergoldener Schnitt
Idee und Anregung: Maik Rentsch, Dresden
1 Worum es geht
Verallgemeinerungen der Fibonacci-Folge
Faktorzerlegung von Polynomen
2 Nullstellen
Wir arbeiten mit der Polynomfunktion 6. Grades:
Die Abbildung 1 zeigt den Funktionsgrafen.
Abb. 1: Funktionsgraf
Die Funktion f hat zwei Nullstellen.
Die erste Nullstelle ist:
Diese Zahl wird als Plastische Zahl bezeichnet.
Die zweite Nullstelle ist:
Diese Zahl wird als Supergoldener Schnitt bezeichnet.
3 Hintergrund
Wir diskutieren zwei Folgen.
3.1 Padovan-Folge
Startwerte:
P0 = 1, P1 = 0, P2 = 0
Rekursion:
Pn = Pn–2 + Pn–3
Im Unterschied zur Fibonacci-Folge greift die Padovan-Folge eine Generation weiter zurück.
Die Tabelle 1 zeigt die ersten Werte. Siehe auch OEIS.
|
n |
Pn |
|
n |
Pn |
|
n |
Pn |
|
0 |
1 |
|
10 |
3 |
|
20 |
49 |
|
1 |
0 |
|
11 |
4 |
|
21 |
65 |
|
2 |
0 |
|
12 |
5 |
|
22 |
86 |
|
3 |
1 |
|
13 |
7 |
|
23 |
114 |
|
4 |
0 |
|
14 |
9 |
|
24 |
151 |
|
5 |
1 |
|
15 |
12 |
|
25 |
200 |
|
6 |
1 |
|
16 |
16 |
|
26 |
265 |
|
7 |
1 |
|
17 |
21 |
|
27 |
351 |
|
8 |
2 |
|
18 |
28 |
|
28 |
465 |
|
9 |
2 |
|
19 |
37 |
|
29 |
616 |
Tab. 1: Padovan-Folge
Die Tabelle 2 zeigt die Quotientenfolge Pn/ Pn–1.
|
n |
Pn/ Pn–1 |
Pn/ Pn–1 |
|
n |
Pn/ Pn–1 |
Pn/ Pn–1 |
|
n |
Pn/ Pn–1 |
Pn/ Pn–1 |
|
0 |
|
|
|
10 |
3/2 |
1.500000000 |
|
20 |
49/37 |
1.324324324 |
|
1 |
|
|
|
11 |
4/3 |
1.333333333 |
|
21 |
65/49 |
1.326530612 |
|
2 |
|
|
|
12 |
5/4 |
1.250000000 |
|
22 |
86/65 |
1.323076923 |
|
3 |
|
|
|
13 |
7/5 |
1.400000000 |
|
23 |
57/43 |
1.325581395 |
|
4 |
|
|
|
14 |
9/7 |
1.285714286 |
|
24 |
151/114 |
1.324561404 |
|
5 |
|
|
|
15 |
4/3 |
1.333333333 |
|
25 |
200/151 |
1.324503311 |
|
6 |
1 |
1. |
|
16 |
4/3 |
1.333333333 |
|
26 |
53/40 |
1.325000000 |
|
7 |
1 |
1. |
|
17 |
21/16 |
1.312500000 |
|
27 |
351/265 |
1.324528302 |
|
8 |
2 |
2. |
|
18 |
4/3 |
1.333333333 |
|
28 |
155/117 |
1.324786325 |
|
9 |
1 |
1. |
|
19 |
37/28 |
1.321428571 |
|
29 |
616/465 |
1.324731183 |
Tab. 2: Quotientenfolge
Die Quotientenfolge strebt gegen die Plastische Zahl ρ ≈ 1.3247.
Die Plastische Zahl ist die reelle Nullstelle der Funktion:
Die Abbildung 2 zeigt den Funktionsgrafen.
Abb. 2: Plastische Zahl als Nullstelle
Die Plastische Zahl soll vom niederländischen Architekten Hans van der Laan eingeführt worden sein.
3.2 Kühe-Folge von Narayana
Startwerte:
N1 = 1, N2 = 1, N3 = 1
Rekursion:
Nn = Nn–1 + Nn–3
Im Unterschied zur Fibonacci-Folge greift die Kühe-Folge eine Generation weiter zurück.
Die Tabelle 3 zeigt die ersten Werte. Siehe auch OEIS.
|
n |
Nn |
|
n |
Nn |
|
n |
Nn |
|
1 |
1 |
|
11 |
28 |
|
21 |
1278 |
|
2 |
1 |
|
12 |
41 |
|
22 |
1873 |
|
3 |
1 |
|
13 |
60 |
|
23 |
2745 |
|
4 |
2 |
|
14 |
88 |
|
24 |
4023 |
|
5 |
3 |
|
15 |
129 |
|
25 |
5896 |
|
6 |
4 |
|
16 |
189 |
|
26 |
8641 |
|
7 |
6 |
|
17 |
277 |
|
27 |
12664 |
|
8 |
9 |
|
18 |
406 |
|
28 |
18560 |
|
9 |
13 |
|
19 |
595 |
|
29 |
27201 |
|
10 |
19 |
|
20 |
872 |
|
30 |
39865 |
Tab. 3: Kühe-Folge von Narayana
Die Tabelle 4 zeigt die Quotientenfolge Nn/ Nn–1.
|
n |
Nn/ Nn–1 |
Nn/ Nn–1 |
|
n |
Nn/ Nn–1 |
Nn/ Nn–1 |
|
n |
Nn/ Nn–1 |
Nn/ Nn–1 |
|
1 |
|
|
|
11 |
28/19 |
1.464285714 |
|
21 |
639/436 |
1.465571205 |
|
2 |
1 |
1. |
|
12 |
41/28 |
1.463414634 |
|
22 |
1873/1278 |
1.465563267 |
|
3 |
1 |
2. |
|
13 |
60/41 |
1.466666667 |
|
23 |
2745/1873 |
1.465573770 |
|
4 |
2 |
1.500000000 |
|
14 |
22/15 |
1.465909091 |
|
24 |
447/305 |
1.465572956 |
|
5 |
3/2 |
1.333333333 |
|
15 |
129/88 |
1.465116279 |
|
25 |
5896/4023 |
1.465569878 |
|
6 |
4/3 |
1.500000000 |
|
16 |
63/43 |
1.465608466 |
|
26 |
8641/5896 |
1.465571114 |
|
7 |
3/2 |
1.500000000 |
|
17 |
277/189 |
1.465703971 |
|
27 |
12664/8641 |
1.465571699 |
|
8 |
3/2 |
1.444444444 |
|
18 |
406/277 |
1.465517241 |
|
28 |
2320/1583 |
1.465571121 |
|
9 |
13/9 |
1.461538462 |
|
19 |
85/58 |
1.465546218 |
|
29 |
27201/18560 |
1.465571119 |
|
10 |
19/13 |
1.473684211 |
|
20 |
872/595 |
1.465596330 |
|
30 |
39865/27201 |
1.465571303 |
Tab. 4: Quotientenfolge
Die Quotientenfolge strebt gegen den Supergoldenen Schnitt ψ ≈ 1.4656.
Der Supergoldene Schnitt ist die reelle Nullstelle der Funktion:
Die Abbildung 3 zeigt den Funktionsgrafen.
Abb. 3: Der Supergoldene Schnitt als Nullstelle
Der Supergoldene Schnitt geht auf den indischen Mathematiker Narayana Pandit zurück.
4 Produkt
Aus
folgt unmittelbar, dass die Funktion f die reellen Nullstellen der Funktionen g und h als reelle Nullstellen hat.
5 Neue Folge
Wir definieren eine neue Folge:
Startwerte:
R1 = 0, R2 = 0, R3 = 0, R4 = 0, R5 = 0, R6 = 1
Rekursion:
Rn = Rn–1
+ Rn–2 + Rn–3 – Rn–4
– Rn–5 – Rn–6
Die Tabelle 5 gibt die ersten Werte.
|
n |
Rn |
|
n |
Rn |
|
n |
Rn |
|
1 |
0 |
|
11 |
10 |
|
21 |
721 |
|
2 |
0 |
|
12 |
16 |
|
22 |
1078 |
|
3 |
0 |
|
13 |
25 |
|
23 |
1608 |
|
4 |
0 |
|
14 |
39 |
|
24 |
2394 |
|
5 |
0 |
|
15 |
60 |
|
25 |
3558 |
|
6 |
1 |
|
16 |
92 |
|
26 |
5280 |
|
7 |
1 |
|
17 |
140 |
|
27 |
7825 |
|
8 |
2 |
|
18 |
212 |
|
28 |
11583 |
|
9 |
4 |
|
19 |
320 |
|
29 |
17128 |
|
10 |
6 |
|
20 |
481 |
|
30 |
25304 |
Tab. 5: Erste Werte
Die Tabelle 6 zeigt die Quotientenfolge Rn/ Rn–1.
|
n |
Rn/ Rn–1 |
Rn/ Rn–1 |
|
n |
Rn/ Rn–1 |
Rn/ Rn–1 |
|
n |
Rn/ Rn–1 |
Rn/ Rn–1 |
|
|
|
|
|
11 |
5/3 |
1.666666667 |
|
21 |
721/481 |
1.498960499 |
|
|
|
|
|
12 |
8/5 |
1.600000000 |
|
22 |
154/103 |
1.495145631 |
|
|
|
|
|
13 |
25/16 |
1.562500000 |
|
23 |
804/539 |
1.491651206 |
|
|
|
|
|
14 |
39/25 |
1.560000000 |
|
24 |
399/268 |
1.488805970 |
|
|
|
|
|
15 |
20/13 |
1.538461538 |
|
25 |
593/399 |
1.486215539 |
|
|
|
|
|
16 |
23/15 |
1.533333333 |
|
26 |
880/593 |
1.483979764 |
|
7 |
1 |
1. |
|
17 |
35/23 |
1.521739130 |
|
27 |
1565/1056 |
1.482007576 |
|
8 |
2 |
2. |
|
18 |
53/35 |
1.514285714 |
|
28 |
11583/7825 |
1.480255591 |
|
9 |
2 |
2. |
|
19 |
80/53 |
1.509433962 |
|
29 |
17128/11583 |
1.478718812 |
|
10 |
3/2 |
1.500000000 |
|
20 |
481/320 |
1.503125000 |
|
30 |
3163/2141 |
1.477347034 |
Tab. 6: Quotientenfolge
Die Quotientenfolge strebt gegen den Supergoldenen Schnitt ψ ≈ 1.465571232 (Tab. 7).
|
n |
Rn/ Rn–1 |
Rn/ Rn–1 |
|
91 |
363868063742289/248273422159009 |
1.465594104 |
|
92 |
533282088944842/363868063742289 |
1.465591906 |
|
93 |
390786426628622/266641044472421 |
1.465589918 |
|
94 |
572731945230775/390786426628622 |
1.465588122 |
|
95 |
76308018762003/52066540475525 |
1.465586499 |
|
96 |
1230194790818360/839388206382033 |
1.465585031 |
|
97 |
3605906878917961/2460389581636720 |
1.465583705 |
|
98 |
5284754040655111/3605906878917961 |
1.465582506 |
|
99 |
7745237344726932/5284754040655111 |
1.465581423 |
|
100 |
2837817094859417/1936309336181733 |
1.465580443 |
Tab. 7: Annäherung an den Supergoldenen Schnitt
Ich weiß nicht, wie man es einrichten müsste, damit die Plastische Zahl als Grenzwert erscheint.
6 Ausblick
Wir können beliebige Beispiele generieren.
6.1 Polynomfunktion
Wir beginnen mit einer Polynomfunktion mit dem Koeffizienten +1 beim höchsten Grad und Koeffizienten ±1 sonst.
Beispiel:
Die Abbildung 4 zeigt den zugehörigen Funktionsgrafen mit einer reellen Nullstelle (falls es keine reelle Nullstelle gibt, wird es spannend).
Abb. 4: Funktionsgraf und Nullstelle
Die Nullstelle ist Lösung der Gleichung:
In unserem Beispiel haben wir die Nullstelle ≈ 1.792402358.
6.2 Folge
Wir definieren rekursiv eine Folge An mit so vielen Startwerten wie der Grad der Funktion. Die Wahl der Startwerte ist beliebig. Ich habe gewählt:
A1 = 0, A2 = 0, A3
= 0, A4 = 0, A5 = 1
Die verwendete Rekursionsformel ist:
An = An–1 + An–2 + An–3 – An–4 + An–5
Die Vorzeichen in der Rekursionsformel ergeben sich mit folgender Umformung: Aus
folgt:
Die Vorzeichen werden nun in derselben Reihenfolge in die Rekursionsformel übertragen.
Die Tabelle 8 gibt die ersten Werte für unser Beispiel.
|
n |
An |
|
n |
An |
|
n |
An |
|
1 |
0 |
|
11 |
21 |
|
21 |
7166 |
|
2 |
0 |
|
12 |
37 |
|
22 |
12840 |
|
3 |
0 |
|
13 |
68 |
|
23 |
23017 |
|
4 |
0 |
|
14 |
120 |
|
24 |
41257 |
|
5 |
1 |
|
15 |
216 |
|
25 |
73944 |
|
6 |
1 |
|
16 |
388 |
|
26 |
132544 |
|
7 |
2 |
|
17 |
693 |
|
27 |
237568 |
|
8 |
4 |
|
18 |
1245 |
|
28 |
425816 |
|
9 |
6 |
|
19 |
2230 |
|
29 |
763241 |
|
10 |
12 |
|
20 |
3996 |
|
30 |
1368025 |
Tab. 8: Erste Werte
Die Tabelle 9 gibt die Quotientenfolge An/An–1.
|
n |
An/An–1 |
An/An–1 |
|
n |
An/An–1 |
An/An–1 |
|
n |
An/An–1 |
An/An–1 |
|
|
|
|
|
11 |
7/4 |
1.750000000 |
|
21 |
3583/1998 |
1.793293293 |
|
|
|
|
|
12 |
37/21 |
1.761904762 |
|
22 |
6420/3583 |
1.791794586 |
|
|
|
|
|
13 |
68/37 |
1.837837838 |
|
23 |
23017/12840 |
1.792601246 |
|
|
|
|
|
14 |
30/17 |
1.764705882 |
|
24 |
41257/23017 |
1.792457749 |
|
|
|
|
|
15 |
9/5 |
1.800000000 |
|
25 |
73944/41257 |
1.792277674 |
|
6 |
1 |
1. |
|
16 |
97/54 |
1.796296296 |
|
26 |
16568/9243 |
1.792491615 |
|
7 |
2 |
2. |
|
17 |
693/388 |
1.786082474 |
|
27 |
3712/2071 |
1.792370835 |
|
8 |
2 |
2. |
|
18 |
415/231 |
1.796536797 |
|
28 |
53227/29696 |
1.792396282 |
|
9 |
3/2 |
1.500000000 |
|
19 |
446/249 |
1.791164659 |
|
29 |
763241/425816 |
1.792419731 |
|
10 |
2 |
2. |
|
20 |
1998/1115 |
1.791928251 |
|
30 |
1368025/763241 |
1.792389298 |
Tab. 9: Quotientenfolge
Die Quotientenfolge strebt gegen die Nullstelle ≈ 1.792402358 der Polynomfunktion.