Hans Walser, [20090829a]

Polyedermodelle aus rechteckigen Karten

1 Die Idee

Wir schrägen bei einem Polyeder die Ecken ab und anschließend die ursprünglichen Kanten. Dadurch entsteht aus jeder ursprünglichen Kante ein Viereck, und aus jeder ursprünglichen Ecke ein Polygon der Seitenzahl, welche der Anzahl der ursprünglich diese Ecke berührenden Seitenflächen des Polyeders.

Illustration am Dodekaeder.

Dodekaeder

Durch Abschrägen von Ecken und Kanten entstehen Dreiecke und Rechtecke. Die Rechtecke — um diese geht es bei unseren Modellen — sind übereck verbunden.

Leicht abgeschrägt — Rechtecke

Wenn wir stärker abschrägen, entsteht als Zwischenfall eine Figur mit Quadraten. Dies ist das so genannte Rhombikosidodekaeder.

Zwischenfall Quadrate

Wenn wir noch stärker abschrägen, ändern die Rechtecke die Längsrichtung. Dasselbe erhalten wir, wenn wir ein Ikosaeder leicht abschrägen.

Stark abgeschrägt

2 Beispiel

Wir bauen nun eine Modell mit Rechtecken. Es entspricht dem Fall „stark abgeschrägt“.

Modell

Das Modell kann verschieden interpretiert werden. Da die Fünfecke fast eben sind, drängt sich eine Interpretation als Dodekaeder auf. Andererseits können die gebogenen Rechtecke — welche sich von selber so einbiegen — als breite Kreisbogen interpretiert werden. So gesehen, haben wir ein Großkreisbogenmodell des auf seine Umkugel projizierten Ikosaeders. Die Dualität von Dodekaeder und Ikosaeder spielt hier hinein.

Großkreisbogenmodell des Ikosaeders

3 Bauteile

Wir brauchen einen einzigen Bauteiltyp, eben ein Rechteck als „Karte“. Die Ausmaße des Rechteckes sind frei.

Bauteil

Da es sich von der Konstruktionsidee her um ein Kantenmodell handelt, brauchen wir für jede Kante einen Bauteil. Das führt dann zu doppelt so vielen Punktverbindungen.

4 Galerie

In den folgenden Beispielen werden verschiedene Materialien, Techniken und auch kombinatorische Aspekte kombiniert.

4.1 Tetraeder

Wir verwenden sechs langgezogene Rechtecke.

Material: Dünnes Blech aus zerlegten Getränkedosen

Punktverbindung: M3-Metallschrauben mit Muttern

4.1.1 Sphärisches Tetraeder

Großkreisbogenmodell des Tetraeders

Es entsteht ein Großkreisbogenmodell des Tetraeders.

4.1.2 Kantenmodell des Tetraeders

Wenn wir hingegen die Blechrechtecke längs der langen Mittellinie falten, erhalten wir ein „strenges“ Tetraeder.

Kantenmodell des Tetraeders

Der Faltwinkel ist der Diederwinkel des Tetraeders (also der Schnittwinkel zweier an einer Kante anstoßenden Seitendreiecke. Dieser Winkel ist . Dieser Winkel stellt sich beim Zusammenschrauben von selbst ein.

4.2 Würfel und Oktaeder

Wir verwenden zwölf Rechtecke im Format DIN A7 in vier verschiedenen Farben. Die Rechtecke sind längs der langen Mittellinie gefaltet. Identische Bauteile für Würfel und Oktaeder (lediglich unterschiedlicher Faltwinkel, der sich aber selber einstellt).

Material: Farbige Karteikarten

Punktverbindung: Mustertütenklammern

4.2.1 Würfel

Würfel

Die vier Farben sind so verteilt, dass an keiner Ecke gleiche Farben zusammenkommen. Wir erhalten auf allen sechs Seitenflächen jeder der vier Farben. Die Farbverteilung (in der folgenden Figur ist Weiß durch Schwarz ersetzt) auf den Seitenflächen ist (von außen gesehen) folgende:

Farbverteilung

Wir sehen, dass auf jeder Seite eine andere Farbverteilung entsteht. Andererseits gibt es kombinatorisch für vier Elemente zyklische Anordnungen. Dies kann so eingesehen werden: Die Anzahl 4! der linearen Anordnungen (Permutationen) muss durch 4 dividiert werden, da bei einer zyklischen Anordnung jedes Element die Rolle des ersten Elementes spielen kann — an einem runden Tisch gibt es keinen Vorsitzenden. Wir haben also in unserem Modell gerade alle kombinatorisch möglichen Farbanordnungen realisiert.

An den Ecken haben wir je eine Auswahl von drei der vier Farben. Diese Dreierauswahl kann auf zwei Arten zyklisch angeordnet werden. Die Anzahl der Möglichkeiten ist also:

Jede der acht Würfelecken zeigt eine andere der acht Möglichkeiten. Dieselbe Dreierauswahl der Farben, aber in unterschiedlicher zyklischer Anordnung, findet sich bei diametral gegenüberliegender Ecken.

4.2.2 Oktaeder

In der folgenden Ansicht — das Oktaeder steht auf einer Ecke — sehen wir die kombinatorische Analogie zum oben abgebildeten Würfel. Die Begriffe Seitenfläche und Ecke sind zu vertauschen. Darin zeigt sich die so genannte Dualität von Würfel und Oktaeder.

Oktaeder, auf der Spitze stehend

Im Eckstand ist das Oktaeder in einem etwas labilen Gleichgewicht. Üblicherweise steht es auf einer Seitenfläche.

Oktaeder, der Schwerkraft gehorchend

5 Technische Tipps

Material:

- Karteikarten, zum Beispiel im Format DIN A7

- Dünnes Blech aus zerlegten Getränkedosen. Kann mit einer starken Schere geschnitten werden. Vorsicht: Verletzungsgefahr bei scharfen Kanten und Ecken.

Punktverbindungen:

- Mustertütenklammern. Die Löcher dazu werden mit einer Lochzange gestanzt, Lochdurchmesser ca. 3.5 mm. Es empfiehlt sich, eine Kartonschablone des Bauteils zu verwenden, dann können die Löcherpositionen schnell aufgezeichnet werden. Es ist bei einiger Sorgfalt möglich, mehrere Karten gestapelt simultan zu lochen.

- Metallschrauben M3 mit Muttern. Löcher mit 3.5 mm Bohrer