Hans Walser, [20260214]

Potenzen pythagoreischer Dreiecke

1 Worum es geht

Potenzieren von pythagoreischen Dreiecken

Potenzieren von rechtwinkligen Dreiecken mit ganzzahligen Katheten

Ein Paritätsproblem

2 Exemplarisches Vorgehen

Wir wählen die Startwerte a₁ = 3, b₁ = 4 und c₁ = √(a₁² + b₁²) = 5. Diese drei Zahlen bilden ein pythagoreisches Tripel.

Nun arbeiten wir für n > 1 mit der Rekursion:

a_n = a_n–1 a₁ – b_n–1 b₁

(1) b_n = a_n–1 b₁ + b_n–1 a₁

c_n = c_n–1 c₁

Die Tabelle 1 gibt die ersten zehn Werte.

n	an	bn	cn
1	3	4	5	Startwerte
2	–7	24	25
3	–117	44	125
4	–527	–336	625
5	–237	–3116	3125
6	11753	–10296	15625
7	76443	16124	78125
8	164833	354144	390625
9	–922077	1721764	1953125
10	–9653287	1476984	9765625

Tab. 1: Erste Werte

Die durch die Rekursion berechneten Tripel sind ebenfalls pythagoreisch. Nachweis rechnerisch unter Verwendung der Rekursion (1).

Es ist:

(2) c_n = 5ⁿ

Wir haben ein exponentielles Wachstum — daher die Bezeichnung Potenzen pythagoreischer Dreiecke.

Die Werte a_n und b_n sind teilweise negativ.

3 Normierung

Wegen dem exponentiellen Wachstum ist es schwierig, die pythagoreischen Tripel als pythagoreische Dreiecke ins selbe Koordinatensystem zu zeichnen. Wir normieren daher die Hypotenusen auf 1. Damit entstehen rationale Werte (Tab. 2).

n	an/cn	bn/cn	cn/cn
1	3/5	4/5	1	Normierte Startwerte
2	–7/25	24/25	1
3	–117/125	44/125	1
4	–527/625	–336/625	1
5	–237/3125	–3116/3125	1
6	11753/15625	–10296/15625	1
7	76443/78125	16124/78125	1
8	164833/390625	354144/390625	1
9	–922077/1953125	1721764/1953125	1
10	–9653287/9765625	1476984/9765625	1

Tab. 2: Normierung

Die Abbildung 1 zeigt die zugehörigen zehn pythagoreischen Dreiecke.

Abb. 1: Die ersten zehn Potenzen

Die Abbildung 2 zeigt die zugehörigen ersten 100 pythagoreischen Dreiecke. Da arctan(4/3) ≈ 53.130° nicht in einem rationalen Verhältnis zur 360° steht, schließt sich die Figur nie.

Abb. 2: Die ersten 100 Potenzen

4 Im ersten Quadranten

Wenn wir mit den Absolutbeträgen der Werte der Tabelle 2 arbeiten, erscheinen alle pythagoreischen Dreiecke im ersten Quadranten (Abb. 3).

Abb. 3: Im ersten Quadranten

5 Geänderte Startwerte

Wir wählen die Startwerte a₁ = 5, b₁ = 12 und c₁ = √(a₁² + b₁²) = 13. Mit der Rekursion (1) ergeben sich die ersten Werte der Tabelle 3.

n	an	bn	cn
1	5	12	13	Geänderte Startwerte
2	–119	120	169
3	–2035	–828	2197
4	–239	–28560	28561
5	341525	–145668	371293
6	3455641	3369960	4826809
7	–23161315	58317492	62748517
8	–815616479	13651680	815730721
9	–4241902555	–9719139348	10604499373
10	95420159401	–99498527400	137858491849

Tab. 3: Geänderte Startwerte

Die Hypotenusen sind nun Potenzen von 13.

Die Abbildung 4 zeigt die ersten 100 normierten pythagoreischen Dreiecke zu diesen Startwerten.

Abb. 4: 100 pythagoreische Dreiecke

6 Beliebige Startwerte

Wir wählen nun die Startwerte a₁ = 4, b₁ = 1. Diese gehören nicht zu einem pythagoreischen Dreieck, denn es ist c₁ = √(a₁² + b₁²) = √17.

Mit der Rekursion (1) erhalten wir die Werte der Tabelle 4. Wir sehen, dass jedes zweite Tripel pythagoreisch ist. Die geraden Potenzen eines beliebigen rechtwinkligen Dreiecks mit ganzzahligen Katheten sind pythagoreische Dreiecke. Ein Beispiel zur Parität. Nachweis rechnerisch.

n	an	bn	cn
1	4	1	√17	Die Startwerte gehören nicht zu einem pythagoreischen Dreieck
2	15	8	17	Pythagoreisches Dreieck
3	52	47	17√17
4	161	240	289	Pythagoreisches Dreieck
5	404	1121	289√17
6	495	4888	4913	Pythagoreisches Dreieck
7	–2908	20047	4913√17
8	–31679	77280	83521	Pythagoreisches Dreieck
9	–203996	277441	83521√17
10	–1093425	905768	1419857	Pythagoreisches Dreieck

Tab. 4: Jedes zweite Tripel ist pythagoreisch

Die Abbildung 5 zeigt die ersten 100 rechtwinkligen Dreiecke zu diesen Startwerten. Die pythagoreischen Dreiecke sind gelb, die anderen rot gezeichnet. Die späteren Dreiecke sind hinter die früheren gesetzt.

Abb. 5: Pythagoreische Dreiecke und andere

7 Zwei gleiche Startwerte

Wir wählen nun die Startwerte a₁ = 1, b₁ = 1.

Die Tabelle 5 gibt die ersten zehn Werte gemäß der Rekursion (1). Bei den geraden Potenzen ist jeweils eine der beiden Katheten null. Die pythagoreischen Dreiecke degenerieren zu einer Strecke.

n	an	bn	cn
1	1	1	√2	Startwerte
2	0	2	2
3	–2	2	2√2
4	–4	0	4
5	–4	–4	4√2
6	0	–8	8
7	8	–8	8√2
8	16	0	16
9	16	16	16√2
10	0	32	32

Tab. 5: Zwei gleiche Startwerte

Die Abbildung 6 zeigt den nicht normierten Fall.

Abb. 6: Nicht normierter Fall

Im normierten Fall haben wir eine Schließungsfigur (Abb. 7).

Abb. 7: Schließungsfigur

Weblinks

Hans Walser: Produkt pythagoreischer Dreiecke

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Produkt_pythagoreischer_Dreiecke/Produkt_pythagoreischer_Dreiecke.html