Hans Walser, [20170815]
Prismenfiguren
Indirekte Anregung: F. H., B.
1 Worum geht es?
Kongruente Prismen werden im Raum so angeordnet, dass im Innern der Figur ein Hohlraum in Form eines Rhombenkšrpes bleibt.
2 Quadratischer Querschnitt
Wir ordnen sechs Prismen mit quadratischem Querschnitt an gemŠ§ Abbildung 1.
Abb. 1: Quadratischer Querschnitt
Der Hohlraum im Innern ist ein Wźrfel.
Wir kšnnen die Situation ausweiten (Abb. 2). Wie viele versteckte Wźrfel haben wir nun? Wie sind diese angeordnet?
Abb. 2: Ausweitung
Die Figuren der Abbildungen 1 und 2 kšnnen so affin verzerrt werden, dass die HohlrŠume Rhombenhexaeder mit kongruenten Seitenrhomben werden. Die Prismen haben dann einen rhombischen Querschnitt.
3 Dreieckiger Querschnitt
Wir ordnen zwšlf Prismen mit einem gleichseitigen Dreieck als Querschnitt an gemŠ§ Abbildung 3.
Abb. 3: Dreikantprismen
Der Hohlraum im Innern ist ein Rhombendodekaeder.
Die Abbildung 4 zeigt ein Papiermodell mit einer anderen Farbanordnung.
Abb. 4: Papiermodell
Faltanleitung fźr die Dreikant-Papierprismen: Wir beginnen mit einem DIN A4 Papier im Hochformat (Abb. 5a). Dieses falten wir dreimal. Auffalten ergibt acht horizontale Streifen. Dieses Papier verwenden wir nun als Faltvorlage fźr ein DIN A4 Papier im Querformat (Abb. 5b).
Vom Hochformat Papier (Abb. 5a) benštigen wir nur eine HŠlfte. Ein Papier reicht also fźr zwei Prismen. Wir falten das Papier mit vier horizontalen Streifen zu einem Dreikant-Prisma. Eine Seite ist dann doppellagig. Dieses Prisma ist der innere Kern des fertigen Papierprismas. Da es au§en nicht sichtbar ist, kann hier mit Makulaturpapier gearbeitet werden.
Vom Hochformat Papier (Abb. 5b) benštigen wir den gelb unterlegten Teil, also fast das ganze Papier. An den RŠndern links und rechts schneiden wir die kurzen dick eingezeichneten roten Strecken ein. Nun wickeln wir dieses Papier um den obigen Kern. Dies tun wir so, dass am Schluss das Papier insgesamt źberall zweilagig ist. Die au§en vorstehenden kleinen Teile stupsen wir ins Innere des Prismas. Das Prisma hŠlt ohne Leim.
Abb. 5: Faltanleitung
Die zwšlf Prismen werden nun zum Modell der Abbildung 4 geklebt. Hilfreich ist es, vorgŠngig ein passendes Rhombendodekaeder (als Flechtmodell) zu bauen und als Klebekern zu verwenden.
Die Abbildung 6 zeigt einen ersten Schritt zur Ausweitung.
Abb. 6: Ausweitung
4 Querschnitt ein 36ˇ-108ˇ-36ˇ-Dreieck
Der Querschnitt der Prismen ist nicht mehr ein regulŠres Vieleck, sondern ein gleichschenkliges Dreieck mit dem Spitzenwinkel 108ˇ. Ein solches Dreieck erscheint als Teil des regelmŠ§igen Fźnfecks (Abb. 7).
Abb. 7: Gleichschenkliges Dreieck
Wir kšnnen 30 Prismen mit diesem Querschnitt anordnen gemŠ§ Abbildung 8.
Abb. 8: 30 Prismen
Der Hohlraum im Innern ist ein Rhombentriakontaeder.
Leider kann die Figur nicht ausgeweitet werden. Dies liegt wohl daran, dass das Rhombentriakontaeder im Unterschied zu Wźrfel und Rhombendodekaeder kein Raumfźller ist.