1 Mittelpunkt

Anhand eines Beispiels wird die Problematik des Begriffs „Mittelpunkt“ diskutiert.

2 Parkettierung

Die Abbildung 1 zeigt eine Parkettierung der Ebene mit einem unregelmäßigen Zwölfeck.

Abb. 1: Parkettierung

3 Symmetriezentrum

Ein einzelner Parkettstein ist punktsymmetrisch (Abb. 2). Es ist daher naheliegend, diesen Punkt als Mittelpunkt der Figur zu bezeichnen.

Abb. 2: Symmetriezentrum

Von diesem Mittelpunkt aus gibt es zu jedem inneren Punkt des Parkettsteins eine geradlinige Verbindung, welche ganz im Innern des Parkettsteines verläuft. Man kann also von diesem Punkt aus jeden Punkt im Parkettstein sehen. Umgekehrt kann dieser Punkt von jedem Punkt im Parkettstein aus gesehen werden.

Im Parkett bilden die Symmetriezentren der Parkettsteine ein Quadratgitter (Abb. 3).

Abb. 3: Quadratgitter

4 Einbeschriebene Kreise

Der Mittelpunkt kann aber auch definiert werden als das Zentrum des größten Kreises, welcher der Figur einbeschrieben werden kann.

Bei einem Dreieck ist dies der Inkreismittelpunkt.

Einem Rechteck, welches kein Quadrat ist, können aber beliebig viele größte Kreise einbeschrieben werden, die aber alle gleich groß sind. Die Mittelpunktsfrage ist nicht mehr eindeutig beantwortbar.

Einem einzelnen Parkettstein der Parkettierung der Abbildungen 1 und 3 können genau zwei größte Kreise einbeschrieben werden. Diese sind gleich groß (Abb. 4).

Abb. 4: Einbeschriebene Kreise

Die beiden Kreise in der Abbildung 4 berühren sich nicht. Im Parkett wird aber jeder Kreis von vier Kreisen benachbarter Parkettsteine berührt (Abb. 5). Die Kreiszentren bilden ein diagonales Quadratgitter.

Abb. 5: Kreise im Parkett