Hans Walser, [20170320]

Prozentuale VerŠnderungen

Anregung: A. B., F.

1     Worum geht es?

Ausgehend von einer Prozent-Aufgabe werden Probleme mit prozentualen VerŠnderungen besprochen.

2     Die Aufgabe

Die Aufgabe entstammt dem COSH-Mindestanforderungskatalog [COSH] fŸr MINT- StudiengŠnge (Aufgabe 34):

Wie verŠndert sich der FlŠcheninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn eine der Katheten um 20 % verkŸrzt und die andere um 20 % verlŠngert wird?

3     Besprechung der Aufgabe

3.1    Kompensation?

ãVerkŸrzenÒ und ãverlŠngernÒ kompensieren sich nicht. Dies wird sofort klar, wenn wir die Aufgabe dynamisch denken und mit 100% arbeiten. Dann wird die FlŠche null.

3.2    Grafische Lšsung

Abb. 2: Grafische Lšsung

In der Abbildung 1 starten wir mit einem rechtwinklig gleichschenkligen Dreieck (gelb). Die Katheten werden um 20%, 40%, 60%, 80%, 100% verlŠngert und verkleinert. Man ãsiehtÒ, wie die Dreiecke flŠchenmŠ§ig kleiner werden. In den GrenzfŠllen ist der FlŠcheninhalt null.

Die Enveloppe der Hypotenusen hat die Gleichung (KathetenlŠnge des gelben Dreiecks gleich ½):

 

                                                                                                                     (1)

 

Sie liegt auf einer (schrŠgen) Parabel, deren Achse die Symmetrieachse der Gesamtfigur ist.

3.3    SchulmŠ§ige Lšsung

Wir arbeiten mit Faktoren. VerkŸrzen um 20% bedeutet einen Faktor 0.8, verlŠngern um 20% einen Faktor 1.2. Nun ist 0.8 × 1.2 = 0.96. Der FlŠcheninhalt wird also um 4% kleiner.

Allgemein:

 

                                                                                           (1)

 

In anderer Darstellung mit :

 

                                                                                                       (2)

 

Der FlŠcheninhalt wird also auf jeden Fall kleiner.

3.4    Allgemeines Dreieck

Die Aufgabe ãhŠngtÒ nicht am rechtwinkligen Dreieck. Wir kšnnen, ohne am Resultat etwas zu Šndern, verallgemeinern wie folgt:

Wie verŠndert sich der FlŠcheninhalt eines Dreiecks, wenn eine Seite um 20 % verkŸrzt und eine andere Seite um 20 % verlŠngert wird?

Es gibt verschiedene Mšglichkeiten, dies einzusehen.

Statt mit einem Dreieck kšnnen wir auch mit einem Rechteck oder einem Parallelogramm arbeiten.

4     Im Raum

4.1    Aufgabe

Wie verŠndert sich das Volumen eines Zylinders, wenn seine Hšhe um 20% verkŸrzt und sein Radius um 20% verlŠngert wird?

Nun ist 0.8 × 1.22 = 1.152. Das Volumen wird um 15.2% vergrš§ert. Andererseits: bei 100% erhalten wir eine flache Scheibe mit dem Volumen null.

Sehen wir das genauer an:

 

Prozentsatz

0%

20%

40%

60%

80%

100%

VerŠnderung

0%

15.2%

17.6%

2.4%

–35.2%

–100%

Tab. 1: VerŠnderungen

In der Gegend von 40% haben wir offenbar die maximal mšgliche Vergrš§erung des Volumens. Etwas oberhalb von 60% haben wir keine VerŠnderung. Daher neue Aufgabe:

4.2    Neue Aufgabe

Wir verkŸrzen die Hšhe eines Zylinders um p% und verlŠngern den Radius um p%.

a)     FŸr welchen Wert von p wird das Volumen maximal?

b)    FŸr welchen Wert von p ergibt sich keine VolumenŠnderung?

Mit der Schreibweise  haben wir folgende Funktion zu diskutieren:

 

                                                                                   (3)

 

Die Abbildung 2 zeigt den Funktionsgrafen.

Abb. 2: Funktionsgraf

4.3    Kurvendiskussion

Teilaufgabe a): Es ist:

 

                                                                         (4)

 

FŸr die Ableitung erhalten wir:

 

                                                                                                     (5)

 

Die Ableitung hat die Nullstellen . Das maximale Volumen erhalten wir fŸr .

Teilaufgabe b): Gesucht sind die Lšsungen von:

 

                                                                                                                           (6)

 

Wir erhalten die kubische Gleichung:

 

                                                                                                            (7)

 

Umgeformt:

 

                                                                                                             (8)

 

Die Lšsungen sind . Die Lšsung null ist trivial, wer nichts tut, macht nichts Falsches. Die positive Lšsung im zulŠssigen Bereich ist:

 

                                                                                             (9)

 

Dies ist der Goldene Schnitt (Walser 2013).

Die Abbildung 3 zeigt einen beliebigen Originalzylinder (links) und einen verŠnderten, aber volumengleichen Zylinder.

Abb. 3: Volumengleiche Zylinder

 

Literatur

Walser, Hans (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing Ÿber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig. ISBN 978-3-937219-85-1.

 

Websites

[COSH] COSH – Cooperation Schule - Hochschule (20.3.2017)

https://lehrerfortbildung-bw.de/bs/bsa/bk/bk_mathe/cosh_neu/

https://lehrerfortbildung-bw.de/u_matnatech/mathematik/bs/bk/cosh/katalog/makv2.pdf