Hans Walser, [20100331a]

PtolemŠus

Anregung: Chr. P., B.

Im gleichseitigen Dreieck gilt ein eigenartiger Summensatz, der sich als Sonderfall des Satzes von PtolemŠus erweist.

1        Gleichseitiges Dreieck

Auf dem Bogen AB des Umkreises eines gleichseitigen Dreieckes ABC wŠhlen wir einen Punkt P. Die Sehnen PA, PB und  PC bezeichnen wir mit x, y, z. Dann gilt:

Beweise

Die Peripheriewinkel  und  messen beide 60¡, da die zugehšrigen Zentriwinkel je 120¡ messen.

1.1      Beweis mit einer Drehung

Wir drehen nun dass Dreieck APB um A um 60¡. Das Bilddreieck ist AQC mit . Das Dreieck APQ ist gleichseitig.

Beweisfigur

Somit ist .

1.2      Beweis mit dem Kosinus-Satz

Es sei s die SeitenlŠnge des gleichseitigen Dreieckes ABC und r dessen Umkreisradius. Wir  machen nun eine Fallunterscheidung:

(i) . Der Punkt P liegt in der Mitte des Bogens AB. Es ist  und , somit .

(ii) . Im Dreieck APC liefert der Kosinus-Satz:

 

 

Im Dreieck CPB erhalten wir analog:

 

Differenz der beiden Gleichungen:

 

 

 

2        Verallgemeinerung

2.1      Quadrat

Quadrat

In der Situation der Figur gilt:

 

Beweis

Beweisfigur

Durch drehen des Dreiecks APB um A um 90¡ beziehungsweise um B um –90¡ folgt:

 

 

 

2.2      Pentagon

Es versteht sich von selbst, dass hier der goldene Schnitt erscheinen muss (vgl. [Walser 2009]). Wir verwenden die Schreibweise:

Pentagon

Mit den Bezeichnungen der Figur gilt:

 

 

 

FŸr den Beweis der ersten Zeile verwenden wir die beiden in der folgenden Figur angedeuteten Drehungen um 108¡ beziehungsweise –108¡.

Beweisfigur mit zwei Drehungen

Es ist dann:

 

 

 

 

FŸr den Beweis der zweiten Zeile verwenden wir die angedeutete Drehstreckung mit dem  Drehwinkel 72¡ und dem Streckfaktor .

Beweisfigur mit einer Drehstreckung

Es ist:

 

Insgesamt haben wir:

 

Die weitere Verallgemeinerung auf das regulŠre n-Eck sei der geneigten Leserin Ÿberlassen.

3        Allgemeines Dreieck

Bezeichnungen gemŠ§ Figur:

Allgemeines Dreieck

Es gilt:

 

Bemerkung: Das ist der Satz des PtolemŠus.

Der Satz des PtolemŠus wird in der Regel so formuliert, dass in einem Sehnenviereck (bei uns das Viereck APBC) das Produkt der beiden Diagonalen (bei uns cz) gleich ist der Summe der Produkte von je zwei gegenŸberliegenden Seiten (bei uns ).

Beweis

Beweisfigur

Wir bilden das Dreieck APB mit einer Drehstreckung auf das Dreieck AQC ab. Drehzentrum A, Drehwinkel , Streckfaktor . Mit WinkelŸberlegungen kann gezeigt werden, dass das Dreieck APQ Šhnlich ist zum Dreieck ABC und dass .

Somit ist:

 

 

 

 

 

Literatur

[Walser 2009]            Walser, Hans: Der Goldene Schnitt. 5., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing Ÿber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2009. ISBN 978-3-937219-98-1