Hans Walser, [20130317]

Pyramidenoptimierung

1     Die Schulaufgabe

Welche Pyramide mit gegebener KantenlŠnge 1 hat den grš§ten Volumeninhalt?

Abb. 1: Pyramide

Als Parameter der Aufgabe verwenden wir den Winkel  zwischen der Pyramidenkante und der Pyramidenhšhe (Abb. 1).

FŸr das Volumen  erhalten wir:

 

 

Damit wird:

 

 

Wir erhalten die nichttriviale positive Lšsung:

 

 

 

2     Diskussion der Lšsung

Der Winkel  ist ein alter Bekannter. Es ist zum Beispiel der Diederwinkel des Oktaeders oder der stumpfe Schnittwinkel der Diagonalen im DIN-Rechteck (Abb. 2).

Abb. 2: Diagonalen im DIN-Rechteck

Zwei gegenŸberliegende WŸrfelkanten spannen ein DIN-Rechteck auf. Daher finden wir die optimale Pyramide auch im WŸrfel (Abb. 3).

Abb. 3: Optimale Pyramide und WŸrfel

Der Umkegel unserer optimalen Pyramide ist der Kegel mit grš§tem Volumeninhalt bei gegebener MantellŠnge.

3     Andere Dimensionen

In der Dimension n denken wir uns die Pyramide mit einem (n – 1)-d-HyperwŸrfel als Basis. FŸr das Volumen  erhalten wir entsprechend:

 

 

Damit wird:

 

 

 

Wir erhalten die nichttriviale positive Lšsung:

 

 

Im n-d-HyperwŸrfel mit dem UmsphŠrenradius 1 spannen zwei diametrale Kanten ein Rechteck gemŠ§ Abbildung 4 auf.

Abb. 4: Rechteck

Der Winkel  ist der stumpfe Diagonalenschnittwinkel dieses Rechtecks.

Die Tabelle zeigt die ersten numerischen Lšsungen:

 

 

FŸr n = 2 ergibt sich als Teil des Quadrates das rechtwinklig gleichschenklige Dreieck (Abb. 5).

Abb. 5: Zweidimensionaler Fall

FŸr n = 4 sieht es spannend aus (Abb. 6). Der stumpfe Diagonalenschnittwinkel im Rechteck misst in Wirklichkeit 120¡ aber in unserer Darstellung wird er zu 135¡ verzerrt.

Abb. 6: Im 4d-Raum

FŸr n = 5 erhalten wir fŸr  den spitzen Diagonalenschnittwinkel im Goldenen Rechteck, vgl. [Walser 2013]. Das kann mit Nachrechnen gezeigt werden. Erstaunen tut es nicht, da die Zahl 5 mit dem Goldenen Schnitt zu tun hat.

FŸr n = 9 erhalten wir fŸr  den spitzen Diagonalenschnittwinkel im DIN-Rechteck. Auch dies kann mit Nachrechnen gezeigt werden. Das Resultat ist aber erstaunlich.

 

Literatur

[Walser 2013]     Walser, Hans: Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing Ÿber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2013. ISBN 978-3-937219-85-1