Hans Walser, [20210530]
Pyramidoid
1 Worum geht es?
Zwei verschiedene Kšrper, welche in allen drei Rissen (Grund-, Auf- und Seitenriss) denselben Umriss haben. Analogie zum Konoid. Optische TŠuschungen.
2 Das Pyramidoid
Das Piramidoid (Abb. 1) hat eine quadratische GrundflŠche und einen dazu diagonalen First.
Abb. 1: Pyramidoid
Abb. 2: Rotation des Pyramidoides
Die Pyramidoid-MantelflŠchen enthalten zwei Geradenscharen (Abb. 3). Die MantelflŠchen sind daher doppelte RegelflŠchen. Ihre Gau§sche FlŠchenkrŸmmung ist negativ. Sie kšnnen nicht in die Ebene abgewickelt werden.
Abb. 3: Geradenscharen
3 Schnitte
3.1 Pyramidoidenstumpf
Die DeckflŠche eines horizontal abgeschnittenen Pyramidoidenstumpfes ist ein Rhombus. In der Abbildung 4 sieht das ein bisschen scheps aus, aber das ist eine optische TŠuschung. Das menschliche Hirn versucht Rhomben als Quadrate zu deuten. Wir sehen eben nicht, was wir zu sehen glauben.
Abb. 4: Pyramidoidenstumpf
Von oben sehen wir die Rhomben schšn (Abb. 5). Allerdings verfallen wir da einer anderen optischen TŠuschung. Wir glauben, ein Quadrat werde lŠngs einer Diagonale zugeklappt wie ein Buch. Wir sehen eben nicht, was wir zu sehen glauben.
Abb. 5: Sicht von oben
3.2 Frontale Schnitte
Jeder Schnitt des Pyramidoides mit einer Normalebene zum First ist ein gleichschenkliges Dreieck (Abb. 6).
Abb. 6: Der Vorhang geht auf
4 Volumengleichheit
Das Pyramidoid (Abb. 1) hat das gleiche Volumen wie das Zelt (Dreikant-Prisma) mit gleicher GrundflŠche und gleicher Hšhe (Abb. 7). Warum ist das so?
Abb. 7: Volumengleiches Zelt
5 Risse
Die Abbildung 8 gibt Grund-, Auf- und Seitenriss des Pyramidoides. Die Umrisse sind ein Quadrat, ein gleichschenkliges Dreieck und nochmals ein Quadrat.
Abb. 8: Risse
6 Haus mit diagonalem First
Das Haus der Abbildung 9 hat eine quadratische GrundflŠche und einen diagonalen First. Es ist die konvexe HŸlle des Pyramidoides. Sein Volumen ist grš§er als jenes des Pyramidoides.
Abb. 9: Diagonaler First
Die Abbildung 10 zeigt die drei Risse dieses Hauses.
Abb. 10: Risse
Die Risse des Hauses mit Diagonalfirst haben je denselben Umriss wie die Risse des Pyramidoides. Beim Seitenriss haben wir aber zusŠtzliche Binnenkanten.
Websites
Hans-JŸrgen Elschenbroich: Konoid
https://www.geogebra.org/m/y57fhddh
Hans-JŸrgen Elschenbroich: Konoid 2
https://www.geogebra.org/m/gqfnnhfe
Hans-JŸrgen Elschenbroich: Konoidmantel
https://www.geogebra.org/m/y57fhddh
Hans Walser: Dreitafelprojektion
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/D/Dreitafelprojektion/Dreitafelprojektion.htm