Hans Walser, [20110613a]

Pythagoreische Dreiecke

Anregungen: M. B., B. und A. R., S.

1        Worum geht es?

Es wird versucht, einige Eigenschaften der Pythagoreischen Zahlentripel und der pythagoreischen Dreiecke zu visualisieren.

2        Formeln

2.1      Generierung der pythagoreischen Zahlentripel

In der Regel werden die pythagoreischen Zahlentripel wie folgt generiert:

Wir wŠhlen zwei natźrliche Zahlen (Parameter) u und v mit folgenden Bedingungen:

 

 

 

 

Dann setzen wir:

 

 

 

 

a, b und c bilden ein primitives (teilerfremdes) pythagoreisches Zahlentripel. Auf diese Weise ergeben sich alle primitiven pythagoreischen Zahlentripel ([Dickson 1920] und [Dickson 1966]).

Die Bedingung (1) sichert, dass a, b, c positiv sind. Wenn wir auf die Bedingung (1) verzichten, mźssen wir mit den BetrŠgen von a, b, c  arbeiten, um ein Dreieck zeichnen zu kšnnen. Wir werden das im folgenden gelegentlich tun.

Wenn die Bedingung (2) verletzt ist, haben a, b, c den gemeinsamen Teiler 2.

Wenn die Bedingung (3) verletzt ist, haben a, b, c den gemeinsamen Teiler .

Wenn wir also zulassen, dass a, b, c gemeinsame Teiler haben, kšnnen wir auf die EinschrŠnkungen (2) und (3) verzichten. Wir werden das im folgenden gelegentlich tun.

2.2      Umkehrung

Umgekehrt gelten die Formeln:

 

 

 

2.3      In- und Ankreisradien

Inkreisradius:

 

Ankreisradien:

 

 

 

 

Diese Radien sind ebenfalls natźrlich Zahlen (vgl. [Baptist 1982]). Bei den Formeln fźr die Radien ist nicht recht einsichtig, warum der Inkreisradius eine Sonderrolle spielen soll.

Wenn wir auf die Bedingung  verzichten, mźssen wir mit den BetrŠgen arbeiten.

3        Darstellung im Koordinatensystem

3.1      Das Dreieck

In einem kartesischen Koordinatensystem wŠhlen wir die Eckpunkte A, B, C der pythagoreischen Dreiecke wie folgt:

 

 

 

 

Die Koordinaten sind ganzzahlig. Wenn wir auf die Bedingung  verzichten, kšnnen sie negativ sein.

Fźr den Mittelpunkt M des Umkreises (Thaleskreis) ergibt sich:

 

 

3.2      Zentren von In- und Ankreisen

Zentrum des Inkreises:

 

 

Zentren der Ankreise:

 

 

 

 

Bemerkung: Der Schwerpunkt dieser vier Punkte ist der Mittelpunkt M des Umkreises. Dies gilt allerdings in einem beliebigen Dreieck.

Bei den Formeln fźr die Zentren ist nicht recht einsichtig, warum der Inkreis eine Sonderrolle spielen soll.

3.3      Der W-Punkt

Wir definieren den Punkt . Er illustriert die beiden Parameter.

3.4      Beispiel

Die Abbildung 1 zeigt den Fall fźr . Dieser Punkt ist grźn eingezeichnet. Es ist weiter:

 

 

 

Fźr den Inkreisradius erhalten wir:

 

Ankreisradien:

 

 

 

 

Zentrum des Inkreises:

 

Zentren der Ankreise:

 

 

 

 

Abb. 1: u = 4, v = 1

 

3.5      In der Gau§schen Zahlenebene

Mit  erhalten wir zunŠchst den Punkt W. Wegen

 

ergibt sich durch  der Punkt A. Aus den Regeln des Rechnens mit den komplexen Zahlen folgt, dass der Punkt W auf der Winkelhalbierenden des Winkels  liegt.


4        Ausdehnung des Parameterbereiches

Wir verzichten nun ausdrźcklich auf die einschrŠnkende Bedingung . Es soll nun also .

Wir illustrieren die Situation an den acht Beispielen (Abb. 2):

 

 

Der grźne Punkt  gibt jeweils die aktuellen Parameter an.

 




Abb. 2: Permutation der Parameter und Vorzeichen

 

Wir sehen, dass die Rollen der In- und Ankreise permutiert werden.

5        Visualisierung einzelner Punkte

5.1      Die Punkte W

Wir zeichnen die Punkte  mit gźner Quadratsignatur der SeitenlŠnge 1.

Die Bedingung  fźhrt zu einem etwas langweiligen Bild. Fźr die Abbildung 3 ist .

 

Abb. 3: u > v > 0

 

Mit den beiden Bedingungen  ergibt sich ein Karo-Muster (Abb. 4).

 

Abb. 4: Karo-Muster

 

Mit den beiden Bedingungen  wird es spannender (Abb. 5).

 

Abb. 5: u und v teilerfremd

 

Die Prinzahlen fźhren zu einer durchgehenden horizontalen oder vertikalen Linie. Deutlich sind auch die Primzahlzwillinge (zum Beispiel 11 / 13 oder 17 / 19) zu erkennen.

Das Muster wird noch interessanter, wenn wir auf die EinschrŠnkung  verzichten. Fźr die Abbildung 6 ist .

 

Abb. 6: u und v teilerfremd

 

Jede horizontale und jede vertikale Linie hat eine Translationssymmetrie. Als Beispiel etwa die horizontalen Linien fźr  (Abb. 7).

 

Abb. 7: v = 5, 10, 15

 

Und nun alle drei Bedingungen, also  . Wir erhalten so die Punkte W (Abb. 8).

 

Abb. 8: Die Punkte W

 

Die Primzahlen und insbesondere die Primzahlzwillingen sind nun als schrŠge Linien (mit den Steigungen ) erkennbar.

Im der Abbildung 8 ist die Bedingung  weggelassen. Es ist .

 

Abb. 9: Bedingungen (2) und (3)

 

5.2      Die Punkte A

Der Punkt A ist gegeben durch . Wir stellen die Punkte mit blauer Kreissignatur dar.

ZunŠchst verwenden wir nur die Bedingung . Das ergibt ein ăgebogenesŇ Raster. In der Abbildung 10 ist .

 

Abb. 10: Gebogenes Raster

 

Um die Struktur des Rasters zu erkennen, lassen wir die Bedingung  auch noch weg. In der Abbildung 11 ist . Die Punkte sind die Schnittpunkte von konfokalen liegenden Parabeln. Darin zeigt sich, dass hinter unseren Formeln die komplexe Quadratfunktion steckt. Die komplexe Quadratfunktion fźhrt zu einer doppelten †berlagerung. Jede Punkt ist doppelt gezeichnet.

 

Abb. 11: Liegende Parabeln

 

Nun bringen wir die Bedingung  ins Spiel (Abb. 12). Wir erhalten wieder Parabeln, diese sind nun wie in der Schule ăstehendŇ.  Warum ist das so?

 

Abb. 12: Stehende Parabeln

 

Die Bedingung  bringt zusŠtzlich eine Ausdźnnung (Abb. 13).

 

Abb. 13: Bedingungen (2) und (3)

 

5.3      Die Inkreismittelpunkte N

Fźr die Inkreismittelpunkt N gilt . Wir arbeiten zunŠchst ohne Bedingungen. In der Abbildung 14 ist .

 

Abb. 14: Na schšn

 

Die Bedingung  dźnnt aus (Abb. 15).

 

Abb. 15: Bedingung (2)

 

Die Bedingung  bringt eine zusŠtzliche Ausdźnnung (Abb. 16).

 

Abb. 16: Bedingungen (2) und (3)

 

5.4      Ankreismittelpunkte

Fźr die Ankreismittelpunkte gelten die Formeln:

In den folgenden Abbildungen sind die Punkte  cyan,  magenta und  orange gezeichnet. ZusŠtzlich sind die Inkreismittelpunkte (rot) eingezeichnet.

Wenn wir ohne weitere Bedingungen arbeiten, erhalten wir fźr  die Abbildung 17. Auf den ersten Blick verblźffend ist die vierteilige Drehsymmetrie.

 

Abb. 17: Ohne EinschrŠnkung

 

In der Abbildung 18 sind zusŠtzlich noch die Punkte A eingezeichnet.

 

Abb. 18: ZusŠtzlich mit Punkten A

 

In der Abbildung 19 sind die beiden Bedingungen  eingearbeitet.

 

Abb. 19: In- und Ankreismittelpunkte sowie Punkte A

 

Literatur

[Baptist 1982]             Baptist, P.: Inkreisradius und pythagoreische Zahlentripel. Praxis der Mathematik 24, 1982, S. 161 - 164.

[Dickson 1920]          Dickson, Leonard Eugene: History of the Theory of Numbers, II. Diophantine Analysis. Washington: Carnegie Institution 1920.

[Dickson 1966]          Dickson, Leonard Eugene: History of the Theory of Numbers; vol II. New York: Chelsea 1966.