Hans Walser, [20231210]
Pythagoreische Dreiecke
Anregung: Thomas Jahre, Aufgabe 65 – 770
Eine Zickzack-Linie im Rechteck führt zu pythagoreischen Dreiecken.
Einem Rechteck soll eine gleichseitige Zickzack-Linie mit n Seiten einbeschrieben werden (Abb. 3 für n = 3). Die Gesamtlänge der Zickzack-Linie (rot in Abb. 1) soll gleich lang sein wie der halbe Umfang des Rechteckes (blau in Abb. 1).
Abb. 1: Zickzack-Linie im Rechteck
Fragen:
· Format des Rechteckes in Abhängigkeit von n
· Eigenschaft der gelben Stützdreiecke
Wir normieren die Länge des Rechteckes auf 1. Gesucht ist die Höhe h des Rechteckes.
Die Längenbedingung lautet:
Daraus ergibt sich für h die positive Lösung:
Die Lösung ist rational.
Daher sind auch die Seitenverhältnisse der gelben Stützdreiecke rational. Durch Erweitern können die Seitenverhältnisse ganzzahlig gemacht werden. Die Dreiecke sind also sogenannte pythagoreische Dreiecke.
Für n = 1 gibt es keine Lösung, da die Diagonale im Rechteck kürzer ist als der halbe Umfang.
Die gelben Stützdreiecke haben das Seitenverhältnis 3 : 4 : 5 (ägyptisches Dreieck).
Abb. 2: n = 2
Die gelben Stützdreiecke haben das Seitenverhältnis 8 : 6 : 10 = 4 : 3 : 5 (ebenfalls ägyptisches Dreieck).
Abb. 3: n = 3
Die gelben Stützdreiecke haben das Seitenverhältnis 15 : 8 : 17.
Abb. 4: n = 4
Die gelben Stützdreiecke haben das Seitenverhältnis 24 : 10 : 26 = 12 : 5 : 13 (indisches Dreieck).
Abb. 5: n = 5
Die gelben Stützdreiecke haben das Seitenverhältnis 35 : 12 : 37.
Abb. 6: n = 6
Abb. 7. n = 2, ... , 20
Zu gegebenem n haben die gelben Stützdreiecke das Seitenverhältnis (n2 – 1) : 2n : (n2 + 1).
Es erscheinen nicht alle pythagoreischen Dreiecke. Es fehlt zum Beispiel das Dreieck mit dem Seitenverhältnis 21 : 20 : 29.
Weblinks
Thomas
Jahre
https://www.schulmodell.eu/aufgabe-der-woche.html