1 Worum es geht

Visualisierung der klassischen Parametrisierung der pythagoreischen Dreiecke.

2 Erinnerung

Mit teilerfremden u und v, u > v, u – v ungerade sind

a = u² – v², b = 2uv, c = u² + v²

die Seiten eines pythagoreischen Dreiecks.

3 Beispiele

3.1 Erstes Beispiel

Wir bearbeiten den Fall u = 2 und v = 1. Nach obigen Formeln wird dann a = 3, b = 4 und c = 5.

Wir arbeiten mit rechtwinkligen Dreiecken mit den Katheten u = 2 und v = 1. Die Abbildung 1 zeigt das schrittweise Vorgehen.

Abb. 1: Konstruktionsschritte

Das gelbe Ergänzungsdreieck ist das gesuchte pythagoreische Dreieck.

3.2 Zweites Beispiel

Wir bearbeiten den Fall u = 3 und v = 2. Nach obigen Formeln wird dann a = 5, b = 12 und c = 13.

Wir arbeiten mit rechtwinkligen Dreiecken mit den Katheten u = 3 und v = 2. Die Abbildung 2 zeigt das schrittweise Vorgehen.

Abb. 2: Konstruktionsschritte

Das gelbe Ergänzungsdreieck ist das gesuchte pythagoreische Dreieck.

3.3 Drittes Beispiel

Wir bearbeiten den Fall u = 4 und v = 1. Nach obigen Formeln wird dann a = 15, b = 8 und c = 17.

Wir arbeiten mit rechtwinkligen Dreiecken mit den Katheten u = 4 und v = 1. Die Abbildung 3 zeigt das schrittweise Vorgehen.

Abb. 3: Konstruktionsschritte

Das gelbe Ergänzungsdreieck ist das gesuchte pythagoreische Dreieck.

3.4 Viertes Beispiel

Wir bearbeiten den Fall u = 5 und v = 2. Nach obigen Formeln wird dann a = 21, b = 20 und c = 29.

Wir arbeiten mit rechtwinkligen Dreiecken mit den Katheten u = 5 und v = 2. Die Abbildung 4 zeigt das schrittweise Vorgehen.

Abb. 4: Konstruktionsschritte

Das gelbe Ergänzungsdreieck ist das gesuchte pythagoreische Dreieck.

4 Konstruktionsbeschreibung

Wir arbeiten mit rechtwinkligen Dreiecken mit den Katheten u und v.

(1) Wir setzen u² solcher kleinen Dreiecke zu einem dazu ähnlichen größeren rechtwinkligen Dreieck zusammen. Dieses stellen wir so auf, dass es auf den Katheten der Länge v steht.

(2) Wir setzen v² kleine Dreiecke zu einem dazu ähnlichen größeren rechtwinkligen Dreieck zusammen. Dieses stellen wir so auf, dass es auf den Katheten der Länge u steht. Das Dreieck setzen wir unten rechts an das erste größere Dreieck an.

(3) Wir spiegeln das erste größere Dreieck an seiner Hypotenuse.

(4) Wir spiegeln das zweite größere Dreieck an seiner Hypotenuse.

(5) Wir ergänzen die Figur zu einem Rechteck. Das Ergänzungsdreieck ist das gesuchte pythagoreische Dreieck.

5 Beweis

Die Abbildung 5 zeigt die Beweisfigur.

Abb. 5: Beweisfigur