Hans Walser, [20191103]

Pythagoreische Dreiecke

1   Worum geht es?

Geometrischer Zugang zu den pythagoreischen Dreiecken.

2   Klassisch

Der klassische Zugang zu den primitiven (Seiten teilerfremd) pythagoreischen Dreiecken geht rechnerisch. Wir wŠhlen die beiden Parameter u und v mit folgenden Bedingungen: u > v, u, v teilerfremd und uv ungerade. Dann sind

 

                                                                                                                   (1)

 

 

 

 

 

die Seiten eines primitiven pythagoreischen Dreieckes. Umgekehrt lŠsst sich jedes primitive pythagoreische Dreieck auf diese Weise parametrisieren.

3   Geometrischer Zugang

Wir zeichnen ein Rechteck mit den SeitenlŠngen u und v (Abb. 1). In diesem Rechteck zeichnen wir eine Diagonale und deren Mittelsenkreche. Die Mittelsenkrechte schneiden wir mit der langen Rechteckseite.

Abb. 1: Rechteck und Mittelsenkrechte der Diagonale

Der Schnittpunkt bildet zusammen mit zwei Rechteckecken das gesucht pythagoreische Dreieck (Abb. 2).

Abb. 2: Pythagoreisches Dreieck

4   Beweis

4.1  Von den Parametern zum Dreieck

Wir arbeiten im kartesischen Koordinatensystem der Abbildung 3 und berechnen die StreckenlŠnge d.

Abb. 3: Koordinatensystem

Abb. 4: €hnlichkeit

Auf Grund der €hnlichkeit (Abb. 4) erhalten wir:

 

                                                                                                               (2)

 

 

 

Daraus ergibt sich:

 

                                                                                      (3)

 

 

 

Weiter ist:

 

                                             (4)

 

 

 

 

 

Aus (3) und (4) ergibt sich die KompatibilitŠt mit (1).

4.2  Umkehrung: vom Dreieck zu den Parametern

Mit einem gegebenen pythagoreischen Dreieck und drei Kopien (zwei davon spiegelbildlich) bilden wir das Rechteck gemŠ§ Abbildung 5. Das Rechteck hat ein rechteckiges Loch. (Das Lochrechteck ist Šhnlich zum gesamten Rechteck.)

Abb. 5: Rechteck aus vier Dreiecken

Die SeitenlŠngen sind ganzzahlig. Gekźrzt ergeben sie u und v. Die Abbildung 5 gehšrt zum Beispiel u = 2 und v = 1 (so genanntes ăLehrerdreieckŇ).