1 Worum es geht

Visualisierung der üblichen Parametrisierung der Pythagoreischen Dreiecke.

2 Erinnerung

Mit teilerfremden u und v, u > v, u – v ungerade sind

(1) a = u² – v², b = 2uv, c = u² + v²

die Seiten eines pythagoreischen Dreiecks.

3 Beispiele

3.1 Erstes Beispiel

Wir bearbeiten den Fall u = 2 und v = 1. Nach obigen Formeln wird dann a = 3, b = 4 und c = 5 („Ägyptisches Dreieck“).

Die gelben Dreiecke (Abb. 1) haben das Seitenverhältnis 3:4:5.

Abb. 1: Seitenverhältnis 3:4:5

3.2 Zweites Beispiel

Wir bearbeiten den Fall u = 3 und v = 2. Wir erhalten rechnerisch a = 5, b = 12 und c = 13 („Indisches Dreieck“).

Die gelben Dreiecke (Abb. 2) haben das Seitenverhältnis 5:12:13.

Abb. 2: Seitenverhältnis 5:12:13

3.3 Drittes Beispiel

Wir bearbeiten den Fall u = 4 und v = 1. Wir erhalten rechnerisch a = 15, b = 8 und c = 17.

Die gelben Dreiecke (Abb. 3) haben das Seitenverhältnis 15:8:17.

Abb. 3: Seitenverhältnis 15:8:17

4 Konstruktion

Wir unterteilen die Seiten des Startquadrates zyklisch im Verhältnis v:u (Abb. 4). Die Teilpunkte ergänzen wir zu einem einbeschriebenen Quadrat.

Abb. 4: Unterteilung der Quadratseiten. Einbeschriebenes Quadrat

Das einbeschriebene Quadrat spiegeln wir an einer Symmetrieachse (egal welcher) des Startquadrates (Abb. 5). So erhalten wir rechtwinklige Dreiecke, exemplarisch das Dreieck ABC.

Abb. 5: Konstruktion des rechtwinkligen Dreiecks

5 Beweis

Die blau eingezeichnete Linie (Abb. 6) ist aus Symmetriegründen die Winkelhalbierende des Winkels β.

Abb. 6: Winkelhalbierende

Für den Winkel β/2 erhalten wir:

(2) tan(β/2) = v/u

Mit dem Additionstheorem des Tangens ergibt sich daraus:

(3) b/a = tan(β) = (2v/u)/(1 – v²/u²) = 2uv/(u² – v²)

Damit genügt das Verhältnis der Katheten a und b den Formeln (1). Das Dreieck ABC ist pythagoreisch.

Weblinks

Hans Walser: Pythagoras

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen_Uebersicht/Pythagoras/index.html