Hans Walser, [20230507]
Pythagoreische Dreiecke
Visualisierung der Parametrisierung der pythagoreischen Dreiecke
In einem Quadratraster zeichnen wir ein grünes rechtwinkliges Dreieck mit der ganzzahligen horizontalen Kathete u und der ganzzahligen vertikalen Kathete v (Abb. 1 für u = 3 und v = 2).
Abb. 1: Im Quadratraster
Wir ergänzen nach rechts oben zu einer Kette von insgesamt u solcher Dreiecke (Abb. 2).
Abb. 2: Dreiecke anfügen
Wir drehen das Ausgangsdreieck um 90° und fügen oben, nun nach links, v Exemplare an (Abb. 3).
Abb. 3: Weitere Dreiecke
Nun geschieht etwas Seltsames: Wir können eine Schräge einfügen, die aus Quadraten zusammengesetzt ist, welche zu den Quadraten des Quadratrasters kongruent sind (magenta in Abb. 4). Es „geht auf“.
Abb. 4: Schräge
Dies müssen wir natürlich beweisen.
Ein grünes rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenusenlänge √(u2 + v2).
Grün und magenta sparen ein (weißes) rechtwinkliges Dreieck aus, dessen eine Kathete u√(u2 + v2) lang ist und die andere Kathete v√(u2 + v2).
Für seine Hypotenuse, und das ist die magenta Schräge, erhalten wir mit Pythagoras die Länge √(u2 + v2) √(u2 + v2) = u2 + v2. Da u und v ganzzahlig sind, ist auch u2 + v2 ganzzahlig. Dies war zu zeigen.
Die Abbildung 5 zeigt die Abbildung 4 mit einigen Maßangaben.
Abb. 5: Maße
Eine ganzzahlige Schräge in einem Quadratraster kann zu einem pythagoreischen Dreieck ergänzt werden (gelb in Abb. 6 und 7).
Abb. 6: Pythagoreisches Dreieck
Abb. 7: Pythagoreisches Dreieck mit Maßangaben
Aus der Abbildung 7 lesen wir für das pythagoreische Dreieck folgende Maße ab:
a = u2 – v2 (horizontale Kathete)
b = 2uv (vertikale Kathete)
c = u2 + v2 (Hypotenuse)
Das sind aber genau die Formeln für die übliche Parametrisierung der pythagoreischen Dreiecke.
Weblinks
Hans Walser: Pythagorean Triangles
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pythagorean_Triangles/Pythagorean_Triangles.htm
Hans Walser: Pythagoreische 60°- und 120°-Dreiecke
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth-60-Dreiecke/Pyth-60-Dreiecke.htm
Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dreiecke/Pyth_Dreiecke.htm
Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dreiecke2/Pyth_Dreiecke2.htm
Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dreiecke3/Pyth_Dreiecke3.htm
Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dreiecke4/Pyth_Dreiecke4.htm
Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dreiecke5/Pyth_Dreiecke5.html
Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dreiecke6/Pyth_Dreiecke6.html
Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dreiecke7/Pyth_Dreiecke7.html
Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke falten
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dr_falten/Pyth_Dr_falten.htm
Hans Walser: Pythagoreische Rechtecke
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/PythRechtecke/PythRechtecke.htm
Hans Walser: Pythagoreische Spiralen
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pythagoreische_Spiralen/Pythagoreische_Spiralen.htm
Hans Walser: Pythagoreische Spiralen
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pythagoreische_Spiralen2/Pythagoreische_Spiralen2.htm
Hans Walser: Pythagoreische Vierecke
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Vierecke/Pyth_Vierecke.htm
Hans Walser: Pythagoreische Vierecke mit orthogonalen Diagonalen
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Vierecke2/Pyth_Vierecke2.htm