Hans Walser, [20190504]

Pythagoras-Animation

Idee: Patrik G. K. Wiesner, BSc ETHZ, Davidgasse 42, A - 1100 Wien

1   Worum geht es?

Die Abbildung 1 zeigt einen klassischen Zerlegungsbeweis  fźr den Satz des Pythagoras.

Abb. 1: Zerlegungsbeweis

Frederickson (2002, S. 33/34) gibt ein Gelenkmodell dazu. Wir stellen ein mehrfach zusammenhŠngendes Gelenkmodell vor.

2   Das Gelenkmodell

Der Schlźssel zum Gelenkmodell ist das aus vier Gelenkpunkten bestehende Quadrat (Abb. 2). Dieses Quadrat wird dann gelenkig zu Rhomben verformt. Die allgemeine Grundidee eines solchen Gelenk-Parallelogramms wird von Patrik G. K. Wiesner in seinen patentierten Modellen angewendet.

Abb. 2: Gelenkquadrat

Damit sind vier der fźnf Zerlegungsteile gelenkig verbunden. Das rote Quadrat wird durch ein weiteres Gelenk angeschlossen (Abb. 3).

Abb. 3: Anschluss des roten Quadrates

3   Kinematik

Wir beginnen in der Situation der beiden Kathetenquadrate und verdrehen das Gelenkquadrat zu Rhomben. Gleichzeitig wird das rote Quadrat im Gegensinn und mit halber Drehgeschwindigkeit gedreht. Ebenfalls gleichzeitig wird die Konfiguration so verschoben, dass die Endlage in das Hypotenusenquadrat passt.

4   Hin und zurźck

Die Abbildung 4 zeigt einige Stationen von der Katheten-Konfiguration zur Hypotenusen-Konfiguration. Interessant ist die Halbzeit-Konfiguration. Kinematisch gesehen sind wir am ătoten PunktŇ. Die vier Punkte des Rhombus liegen auf einer Geraden.

Abb. 4: Hinweg

Wenn wir den Prozess rźckwŠrts laufen lassen, kommen wir zur Ausgangs-Konfiguration zurźck.

Die Animation1 illustriert diesen Prozess in beiden Richtungen.

5   Avanti, avanti

Statt zurźck kšnnen wir die Drehungen auch weiterhin vorwŠrts laufen lassen. Wegen der abweichenden Drehgeschwindigkeit des roten Quadrates mźssen wir insgesamt vier Doppelschritte machen.

Die Verschiebung muss allerdings rźckgŠngig gemacht werden.

Die Abbildung 5 illustriert den Sachverhalt in mehreren Schritten.

Die Animation2 zeigt den Prozess.

Abb. 5.1: Start  und bis zum toten Punkt

Abb. 5.2: Ziel und weiter bis zum nŠchsten toten Punkt

Abb. 5.3: Wo ist das rote Quadrat?

Abb. 5.4

Abb. 5.5: Nun geht es in die nŠchste Runde

Literatur

Frederickson, Greg N. (2002): Hinged Dissections. Swinging & Twisting. Cambridge University Press. ISBN 0-521-81192-9. http://www.cs.purdue.edu/homes/gnf/book2.html

 

Weblinks

DITOH, Spezieller platonischer Kšrper

https://www.ditoh.com

 

Hans Walser: Pythagoras-Zerlegungsbeweise

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pythagoras-Zerlegungsbeweise/Pythagoras-Zerlegungsbeweise.htm