Hans Walser, [20190504]
Pythagoras-Animation
Idee: Patrik G. K. Wiesner, BSc ETHZ, Davidgasse 42, A - 1100 Wien
Die Abbildung 1 zeigt einen klassischen Zerlegungsbeweis fźr den Satz des Pythagoras.
Abb. 1: Zerlegungsbeweis
Frederickson (2002, S. 33/34) gibt ein Gelenkmodell dazu. Wir stellen ein mehrfach zusammenhŠngendes Gelenkmodell vor.
Der Schlźssel zum Gelenkmodell ist das aus vier Gelenkpunkten bestehende Quadrat (Abb. 2). Dieses Quadrat wird dann gelenkig zu Rhomben verformt. Die allgemeine Grundidee eines solchen Gelenk-Parallelogramms wird von Patrik G. K. Wiesner in seinen patentierten Modellen angewendet.
Abb. 2: Gelenkquadrat
Damit sind vier der fźnf Zerlegungsteile gelenkig verbunden. Das rote Quadrat wird durch ein weiteres Gelenk angeschlossen (Abb. 3).
Abb. 3: Anschluss des roten Quadrates
Wir beginnen in der Situation der beiden Kathetenquadrate und verdrehen das Gelenkquadrat zu Rhomben. Gleichzeitig wird das rote Quadrat im Gegensinn und mit halber Drehgeschwindigkeit gedreht. Ebenfalls gleichzeitig wird die Konfiguration so verschoben, dass die Endlage in das Hypotenusenquadrat passt.
Die Abbildung 4 zeigt einige Stationen von der Katheten-Konfiguration zur Hypotenusen-Konfiguration. Interessant ist die Halbzeit-Konfiguration. Kinematisch gesehen sind wir am ătoten PunktŇ. Die vier Punkte des Rhombus liegen auf einer Geraden.
Abb. 4: Hinweg
Wenn wir den Prozess rźckwŠrts laufen lassen, kommen wir zur Ausgangs-Konfiguration zurźck.
Die Animation1 illustriert diesen Prozess in beiden Richtungen.
Statt zurźck kšnnen wir die Drehungen auch weiterhin vorwŠrts laufen lassen. Wegen der abweichenden Drehgeschwindigkeit des roten Quadrates mźssen wir insgesamt vier Doppelschritte machen.
Die Verschiebung muss allerdings rźckgŠngig gemacht werden.
Die Abbildung 5 illustriert den Sachverhalt in mehreren Schritten.
Die Animation2 zeigt den Prozess.
Abb. 5.1: Start und bis zum toten Punkt
Abb. 5.2: Ziel und weiter bis zum nŠchsten toten Punkt
Abb. 5.3: Wo ist das rote Quadrat?
Abb. 5.4
Abb. 5.5: Nun geht es in die nŠchste Runde
Literatur
Frederickson, Greg N. (2002): Hinged Dissections. Swinging & Twisting. Cambridge University Press. ISBN 0-521-81192-9. http://www.cs.purdue.edu/homes/gnf/book2.html
Weblinks
DITOH, Spezieller platonischer Kšrper
Hans Walser: Pythagoras-Zerlegungsbeweise
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pythagoras-Zerlegungsbeweise/Pythagoras-Zerlegungsbeweise.htm