Hans Walser, [20120529a], [20191026]

Pythagoras-Schwerpunkte

Anregung: Fred Voß: Die Waage des Pythagoras

1 Worum es geht

Die Pythagoras-Figur ist wohlbekannt.

Abb. 1: Pythagoras-Figur

Wir berechnen Schwerpunkte dieser Figur und Teilen davon, und zwar Eckenschwerpunkte und Flächenschwerpunkte. Außer bei einem Dreieck sind nämlich Eckenschwerpunkt und Flächenschwerpunkt in der Regel verschieden.

Wir arbeiten mit den Bezeichnungen und der Disposition der Abbildung 2.

Abb. 2: Bezeichnungen und Disposition

Es ist dann:

Weiter seien S der Schwerpunkt des rechtwinkligen Dreieckes ABC und die Schwerpunkte der angesetzten Quadrate. Mit einiger Rechnung finden wir:

Für die Außenecken der angesetzten Quadrate ergibt sich:

2 Eckenschwerpunkte

Wir haben bereits als Schwerpunkt des Dreiecks ABC.

Für den Schwerpunkt der drei Außenecken finden wir aber ebenfalls , und dasselbe gilt für die drei Außenecken . Schließlich haben auch die drei Punkte diesen Schwerpunkt.

Die vier Dreiecke ABC, , und haben alle denselben Schwerpunkt S.

Abb. 3: Gemeinsame Eckenschwerpunkte

Damit haben auch die neun Ecken der Pythagoras-Figur diesen Schwerpunkt S.

Wenn sich der Punkt C auf dem Thaleskreis bewegt, beschreibt der Punkt S einen dazu konzentrischen Kreis mit einem Drittelradius.

3 Flächenschwerpunkte

Das Dreieck ABC hat den Punkt S auch als Flächenschwerpunkt, da im Dreieck Eckenschwerpunkt und Flächenschwerpunkt übereinstimmen.

Im weiteren verwenden wir folgende Bezeichnungen:

T sei der Flächenschwerpunkt der beiden Kathetenquadrate als Gesamtfigur.

U sei der Flächenschwerpunkt der drei Quadrate der Pythagorasfigur.

V schließlich sei der Flächenschwerpunkt der gesamten Pythagorasfigur, also Dreieck mit den drei Quadraten.

3.1 Flächenschwerpunkt der beiden Kathetenquadrate

Der gesuchte Punkt T teilt die Strecke im Verhältnis , wobei der dem Wert entsprechende Abschnitt bei beginnt.

Nun teilt der Fußpunkt D der Höhe die Hypotenuse AB im Verhältnis , wobei der dem Wert entsprechende Abschnitt bei beginnt. Dies folgt aus den so genannten Kathetensätzen, die wir hier zur Seltenheit wieder einmal brauchen können.

Damit lässt sich der Punkt T gemäß Abbildung 4 konstruieren.

Abb. 4: Konstruktion des Flächenschwerpunktes der Kathetenquadrate

Rechnerisch finden wir:

Damit können wir die Bahnkurve von T plotten, wenn C die obere Hälfte des Thaleskreises durchläuft, also für (Abb. 5).

Abb. 5: Bahnkurve des Flächenschwerpunktes der Kathetenquadrate

Für durchläuft C den gesamten Thaleskreis. Im unteren Teil sind dann allerdings die Kathetenquadrate aus Orientierungsgründen nach innen zu zeichnen. Für den Punkt T erhalten wir die Bahnkurve der Abbildung 6.

Abb. 6: Verlängerte Bahnkurve

Man kann nachrechnen, dass sich im Tripelpunkt die Kurven unter Winkeln von 90° und 45° schneiden: Aus ergibt sich die Vektordarstellung:

Für erhalten wir , also den Tripelpunkt. Weiter ist:

Somit haben wir im Tripelpunkt die Tangentialvektoren:

Daraus ergeben sich die Schnittwinkel von 90° und 45°.

3.2 Flächenschwerpunkt der drei Quadrate

Nun nehmen wir noch das Hypotenusenquadrat dazu, welches den Schwerpunkt hat. Da das Hypotenusenquadrat dasselbe „Gewicht“ hat wie die beiden Kathetenquadrate zusammen (das ist ja die Aussage des Satzes von Pythagoras), können wir einfach den Mittelpunkt von T und wählen. Für den Schwerpunkt U der drei Quadrate erhalten wir daher:

Für erhalten wir die Bahnkurve der Abbildung 7.

Abb. 7: Bahnkurve des Flächenschwerpunktes der drei Quadrate

3.3 Flächenschwerpunkt der Pythagoras-Figur

Für den Flächenschwerpunkt V der Gesamtfigur müssen wir U und S mit den zugehörigen Flächen, also und gewichten. Das lässt sich auch konstruktiv leicht durchführen. Rechnerisch erhalten wir:

Die Abbildung 8 zeigt die Bahnkurve.

Abb. 8: Bahnkurve des Flächenschwerpunktes der Pythagoras-Figur

Die ist geringfügig anders als die Kurve der Abbildung 7, hat aber keinen Tripelpunkt, sondern drei Doppelpunkte. Die Abbildung 9 zeigt einen Ausschnitt.

Abb. 9: Ausschnitt

Websites

Fred Voß: Die Waage des Pythagoras (abgerufen 26.10.2019)

https://www.youtube.com/watch?v=cjKCnEpEEFs