Hans Walser, [20210101]

Pythagoras

Anregung: Johanna Heitzer, Aachen

1   Worum geht es?

Bahnkurven in der Pythagoras-Ikone

2   Fragestellung

Gesucht sind die Bahnkurven der Mittelpunkte der Kathetenquadrate, wenn die Ecke C auf dem Thaleskreis bewegt wird (Abb. 1).

Abb. 1: Mittelpunkte der Kathetenquadrate

3   Bearbeitung

Der Polygonzug BZaCZbA  (Abb. 2a) ist ein halbes Quadrat (Abb. 2b).

Abb. 2: Quadrat

Wegen der vierteiligen Drehsymmetrie des Quadrates kšnnen wir den in Bezug auf das Quadrat schrŠgen Durchmesser AB um 90ˇ drehen (Abb. 3a). Der oberste Punkt N des Thaleskreises liegt ebenfalls auf dem Rand des Quadrates. Der Mittelpunkt Za des Kathetenquadrates źber a liegt daher auf dem Thaleskreis źber BN (Abb. 3b)

Abb. 3: Symmetrien im Quadrat

Analog fźr den Mittelpunkt Zb (Abb. 4a).

Abb. 4: Die beiden gesuchten Bahnkurven

Die Abbildung 5 illustriert den Sachverhalt.

 

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Abb. 5: Bahnkurven

4   Ausblicke

Die Bahnkurven der Quadratecken sind ebenfalls Kreise (mźndliche Mitteilung von Peter Gallin, Bauma) (Abb. 6). Die Kreise passen ins Quadratraster des Hypotenusenquadrates.

 

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Abb. 6: Quadratecken

Andere Bahnkurven im Kontext des rechtwinkligen Dreiecks.

 

Websites

Hans Walser: Kardioide
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kardioide5/Kardioide5.htm