Hans Walser, [20210204]

Pythagoras nach Euklid

Anregung: Marion Zšggeler, Salzburg

1     Worum geht es?

Variationen von Euklids Beweis des Satzes von Pythagoras

2     Euklid

Die Abbildungen 1 und 2 illustrieren den Gedankengang des Beweises von Euklid (Elemente, Erstes Buch, ¤47, L. 33).

 

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Abb. 1: Invariante DreiecksflŠche

 

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Abb. 2: Beidseitig

Die beiden Dreiecke źberschneiden sich.

3     Ein Schmankerl

Haben die blaue, die rote und die schwarze Gerade (Abb. 3) einen gemeinsamen Schnittpunkt?

Abb. 3: Schnittpunkt?

4     Parallelogramme

Bezogen auf die Pythagoras-Ikone mit den angesetzten veritablen Quadraten liefert die Abbildung 2 nur die halbe Miete fźr die halbe Wohnung. Wir kšnnen die Dreiecke zu Parallelogrammen ergŠnzen (Abb. 4).

 

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Abb. 4: Parallelogramme

Die Parallelogramme źberschneiden sich.

5     †berschneidungsfrei

Die Abbildungen 5 und 6 zeigen źberschneidungsfreie Lšsungen.

 

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Abb. 5: †berschneidungsfreie Parallelogramme

Die Abbildung 6 zeigt eine Hybridlšsung, zusammengesetzt aus Teilen der Abbildungen 4 und 5.

 

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Abb. 6: Hybridlšsung

6     Zerlegungen

Die Abbildung 7 zeigt Zerlegungen.

Die Zerlegung 7.1 ist aus der Abbildung 4 hergeleitet. Die Teile rechts mźssen im positiven Drehsinn (Kreiselsinn bei LŠndern mit Rechtsverkehr) um 90ˇ gedreht werden, um vom Kathetenquadrat ins Hypotenusenquadrat zu gelangen, die Teile links im negativen Drehsinn (Uhrzeigersinn).

Abb. 7.1: Verschiedene Drehsinne

Die Zerlegung 7.2 ist aus der Hybridlšsung (Abb. 6) hergeleitet. Alle Teile mźssen im positiven Drehsinn um 90ˇ gedreht werden (Kreiselsinn).

Abb. 7.2: Positiver Drehsinn

Die Zerlegung der Abbildung 7.3 basiert nicht mehr auf der Idee von Euklid. Alle Teile kšnnen translatorisch bewegt werden, es braucht keine Drehungen.

Abb. 7.3: Translationen

Literatur

Euklid (1980): Die Elemente. Nach Heibergs Text aus dem Griechischen źbersetzt und herausgegeben von Clemens Thaer. Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft. ISBN 3-534-01488-X