Hans Walser, [20210204]
Pythagoras nach Euklid
Anregung: Marion Zšggeler, Salzburg
Variationen von Euklids Beweis des Satzes von Pythagoras
Die Abbildungen 1 und 2 illustrieren den Gedankengang des Beweises von Euklid (Elemente, Erstes Buch, ¤47, L. 33).
Abb. 1: Invariante DreiecksflŠche
Abb. 2: Beidseitig
Die beiden Dreiecke źberschneiden sich.
Haben die blaue, die rote und die schwarze Gerade (Abb. 3) einen gemeinsamen Schnittpunkt?
Abb. 3: Schnittpunkt?
Bezogen auf die Pythagoras-Ikone mit den angesetzten veritablen Quadraten liefert die Abbildung 2 nur die halbe Miete fźr die halbe Wohnung. Wir kšnnen die Dreiecke zu Parallelogrammen ergŠnzen (Abb. 4).
Abb. 4: Parallelogramme
Die Parallelogramme źberschneiden sich.
Die Abbildungen 5 und 6 zeigen źberschneidungsfreie Lšsungen.
Abb. 5: †berschneidungsfreie Parallelogramme
Die Abbildung 6 zeigt eine Hybridlšsung, zusammengesetzt aus Teilen der Abbildungen 4 und 5.
Abb. 6: Hybridlšsung
Die Abbildung 7 zeigt Zerlegungen.
Die Zerlegung 7.1 ist aus der Abbildung 4 hergeleitet. Die Teile rechts mźssen im positiven Drehsinn (Kreiselsinn bei LŠndern mit Rechtsverkehr) um 90ˇ gedreht werden, um vom Kathetenquadrat ins Hypotenusenquadrat zu gelangen, die Teile links im negativen Drehsinn (Uhrzeigersinn).
Abb. 7.1: Verschiedene Drehsinne
Die Zerlegung 7.2 ist aus der Hybridlšsung (Abb. 6) hergeleitet. Alle Teile mźssen im positiven Drehsinn um 90ˇ gedreht werden (Kreiselsinn).
Abb. 7.2: Positiver Drehsinn
Die Zerlegung der Abbildung 7.3 basiert nicht mehr auf der Idee von Euklid. Alle Teile kšnnen translatorisch bewegt werden, es braucht keine Drehungen.
Abb. 7.3: Translationen
Literatur
Euklid (1980): Die Elemente. Nach Heibergs Text aus dem Griechischen źbersetzt und herausgegeben von Clemens Thaer. Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft. ISBN 3-534-01488-X