Hans Walser, [20170915]

Pythagorasbaum und Binomialverteilung

1     Worum geht es?

Der fraktale Pythagorasbaum enthŠlt einen Link zu den Binomialkoeffizienten und zur Binomialverteilung.

2     Der Pythagorasbaum

Die Abbildung 1 zeigt den sattsam bekannten fraktalen Pythagorasbaum.

Abb. 1: Pythagorasbaum

Fźr die Abbildung wurde mit dem Lehrerdreieck (SeitenverhŠltnis 3:4:5) gearbeitet.

In der Abbildung 2 sind nur die ersten vier Generationen gezeichnet. Die Figur ist generationenweise gefŠrbt. Das gro§e rote Quadrat ist die Generation null.

Abb. 2: Die ersten vier Generationen

Innerhalb einer Generation (gleiche FŠrbung) ist die FlŠchensumme der Quadrate konstant, und zwar so gro§ wie die FlŠche des roten Quadrates der Generation null. Dies folgt aus dem Satz des Pythagoras.

3     AuszŠhlen der Generationen

Wir zŠhlen die Quadrate innerhalb einer Generation und sortieren der Grš§e nach.

Fźr die Generation null haben wir das rote Quadrat (Abb. 3).

Abb. 3: Generation null

Zu sortieren gibt es da nichts.

3.1    Generation 1

In der Generation 1 haben wir zwei Quadrate ungleicher Grš§e (Abb. 4).

Abb. 4: Generation eins

Wir bezeichnen die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks wie źblich mit a und b und die Hypotenuse mit c. Ferner definieren wir:

 

                                                                                                           (1)

 

Dabei ist p der FlŠchenanteil des Quadrates źber der Kathete a am Hypotenusenquadrat und q der FlŠchenanteil des Quadrates źber der Kathete b am Hypotenusenquadrat.

Es ist:

 

                                                                                                                           (2)

 

Wir nummerieren die Quadrate gemŠ§ ihrer Grš§e, beginnend rechts und mit 0. Die Tabelle 1 gibt die Daten.

 

Nummer

0

1

Anzahl

1

1

Grš§e

p

q

FlŠchenanteil

p

q

Tab. 1: Generation 1

3.2    Generation 2

In der Generation 2 haben wir vier Quadrate (grźn in Abb. 5).

Abb. 5: Zweite Generation

Allerdings sind die beiden mittleren Quadrate gleich gro§ (Abb. 6).

Abb. 6: Der Grš§e nach geordnet

Es gelten die Daten der Tabelle 2.

 

Nummer

0

1

2

Anzahl

1

2

1

Grš§e

FlŠchenanteil

Tab. 2: Zweite Generation

Von den beiden mittleren Quadraten hat eines formal genommen die Grš§e pq, das andere die Grš§e qp.

3.3    Generation 3

In der Generation 3 haben wir 23 = 8 Quadrate, aber nur vier unterschiedliche Grš§en (Abb. 7 und 8).

Abb. 7: Dritte Generation

Abb. 8: Ordnen der Grš§e nach

 

Nummer

0

1

2

3

Anzahl

1

3

3

1

Grš§e

FlŠchenanteil

Tab. 3: Dritte Generation

3.4    Generation 4

In der Generation 4 haben wir 24 = 16 Quadrate, aber nur fźnf unterschiedliche Grš§en (Abb. 9 und 10).

Abb. 9: Vierte Generation

Abb. 10: Ordnen der Grš§e nach

 

Nummer

0

1

2

3

4

Anzahl

1

4

6

4

1

Grš§e

FlŠchenanteil

Tab. 4: Vierte Generation

4     Binomialkoeffizienten und Binomialverteilung

In den Tabellen 1 bis 4 erkennen wir bei den Anzahlen die Binomialkoeffizienten und am FlŠchenanteil (gemessen am Hypotenusenquadrat) die Binomialverteilung.

Die Beweise ergeben sich aus dem Aufbau des Pythagorasbaumes.

 

Websites

Hans Walser: Dreiecksunterteilung und Binomialverteilung (abgerufen 16.09.2017):

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/D/Dreiecksunterteilung2/Dreiecksunterteilung2.htm