Hans Walser, [20240505]

Pythagoreische Approximation

1     Worum es geht

Ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck mit rationalem Kathetenverhältnis soll durch pythagoreische Dreiecke approximiert werden.

Es wird ein Algorithmus angegeben. Beweis fehlt, aber der Algorithmus funktioniert.

2     Pythagoreische Dreiecke

Die Abbildung 1 zeigt eine (abbrechende) Folge von pythagoreischen Dreiecken, deren Hypotenuse auf die Länge 1 normiert wurde.

Abb. 1: Pythagoreische Dreiecke

Die Abbildung 2 zeigt dasselbe kumuliert.

Abb. 2: Kumuliert

Die Frage ist, ob die roten Punkte auf dem Viertelkreis schließlich überall dicht liegen.

3     Approximation

3.1     Beispiel

Das rechtwinklig gleichschenklige Dreieck ist kein pythagoreisches Dreieck, da die Hypotenusenlänge √2 irrational zu den Kathetenlängen 1 ist. Die Tabelle 1 zeigt eine Approximation.

 

n

u[n]

v[n]

a[n]

b[n]

c[n]

α[n] [°]

2

2

1

3

4

5

36.86989765

3

5

2

21

20

29

46.39718102

4

12

5

119

120

169

44.76027010

5

29

12

697

696

985

45.04113121

6

70

29

4059

4060

5741

44.99294299

7

169

70

23661

23660

33461

45.00121077

8

408

169

137903

137904

195025

44.99979226

9

985

408

803761

803760

1136689

45.00003564

10

2378

985

4684659

4684660

6625109

44.99999388

Tab. 1: Approximation des rechtwinklig gleichschenkligen Dreiecks

Bei den approximierenden pythagoreischen Dreiecken unterscheiden sich die Kathetenlänge jeweils um 1. Sie sind also fast gleichschenklig. Der Winkel α strebt gegen 45°.

Die Parameterfolge u[n] hat die Rekursion:

 

            u[n + 1] := 2* u[n] + u[n - 1]

 

Die Folge ist eine verallgemeinerte Fibonacci-Folge. Die Parameterfolge v[n] ist die um 1 versetzte Folge u[n].

3.2     Allgemein

Wir können ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck mit rationalen Kathetenlängen arational und brational durch pythagoreische Dreiecke approximieren. Damit liegen die roten Punkte dicht auf dem Viertelkreis.

3.2.1    Bearbeitung des gegebenen Dreiecks

Wir zeigen das Vorgehen exemplarisch am Beispiel:

 

            arational := 3/7;          brational := 5/11;

 

Wir benötigen den Quotienten q :=  arational/brational der beiden Kathetenlängen als gekürzten Bruch:

 

            q := 33/35;

 

Damit können wir den Winkel α des gegebenen Dreiecks bestimmen:

 

            α := arctan(q) ≈ 43.31531567 °

 

3.2.2    Verallgemeinerte Fibonacci-Folge

Wir definieren eine verallgemeinerte Fibonacci-Folge mit den Startwerten

 

            u[0] := 0:

u[1] := 1:

 

und der Rekursion:

 

            u[n + 1] := 2*q*u[n] + u[n - 1] :

 

Weiter sei:

 

            v[n] := u[n - 1]:

 

Die Tabelle 2 gibt die ersten Werte:

 

n

u[n]

v[n]

1

1

0

2

66/35

1

3

5581/1225

66/35

4

449196/42875

5581/1225

5

36483661/1500625

449196/42875

6

2958186726/52521875

36483661/1500625

Tab. 2: Erste Werte

Die Nenner in der Tabelle 2 sind Potenzen des Nenners von q. Wir bringen diese wegmultiplizieren. Allenfalls dividieren wir noch durch den größten gemeinsamen Teiler von u[n] und v[n]. So erhalten wir die ganzzahligen Werte der Tabelle 3.

 

n

u[n]

v[n]

1

1

0

2

66

35

3

5581

2310

4

449196

195335

5

36483661

15721860

6

2958186726

1276928135

Tab. 3: Ganzzahlig

3.2.3    Pythagoreische Dreiecke

Nun verwenden wir u[n] und v[n] als Parameter zur Konstruktion von pythagoreischen Dreiecken. Die einschlägigen Formeln sind:

 

            a[n] := u[n]^2 - v[n]^2:
            b[n] := 2* u[n]* v[n]:
            c[n] := u[n]^2 + v[n]^2:

Damit ergeben sich die pythagoreischen Dreiecke der Tabelle 4.

 

n

u[n]

v[n]

a[n]

b[n]

c[n]

α [n] [°]

2

66

35

3131

4620

5581

34.12571434

3

5581

2310

25811461

25784220

36483661

45.03025048

4

449196

195335

163621284191

175487401320

239932808641

42.99591938

5

36483661

15721860

1083880638103321

1147182021058920

1578234401822521

43.37479717

6

2958186726

1276928135

7120323243928020851

7554783718025872020

10381414167837177301

43.30423840

Tab. 4: Folge von pythagoreischen Dreiecken

Die Konvergenz ersehen wir am Verhalten des Winkels α.

3.3     Weiteres Beispiel

 

arational := 1

 

brational := 4

 

q := 1/4

 

α := 14.03624346°

 

Die Tabelle 5 gibt die ersten Werte:

 

n

u[n]

v[n]

1

1

0

2

1/2

1

3

5/4

1/2

4

9/8

5/4

5

29/16

9/8

6

65/32

29/16

7

181/64

65/32

8

441/128

181/64

9

1165/256

441/128

10

2929/512

1165/256

11

7589/1024

2929/512

12

19305/2048

7589/1024

13

49661/4096

19305/2048

14

126881/8192

49661/4096

15

325525/16384

126881/8192

Tab. 5: Erste Werte

n

u[n]

v[n]

1

1

0

2

1

2

3

5

2

4

9

10

5

29

18

6

65

58

7

181

130

8

441

362

9

1165

882

10

2929

2330

11

7589

5858

12

19305

15178

13

49661

38610

14

126881

99322

15

325525

253762

Tab. 6: Ganzzahlig

n

u[n]

v[n]

a[n]

b[n]

c[n]

α [n] [°]

2

1

2

-3

4

5

-36.86989765

3

5

2

21

20

29

46.39718102

4

9

10

-19

180

181

-6.025575011

5

29

18

517

1044

1165

26.34510685

6

65

58

861

7540

7589

6.514443877

7

181

130

15861

47060

49661

18.62576257

8

441

362

63437

319284

325525

11.23747818

9

1165

882

579301

2055060

2135149

15.74261701

10

2929

2330

3150141

13649140

14007941

12.99596971

11

7589

5858

23276757

88912724

91909085

14.67041757

12

19305

15178

142311341

586022580

603054709

13.64964097

13

49661

38610

975482821

3834822420

3956947021

14.27192147

14

126881

99322

6233928477

25204149364

25963647845

13.89257125

15

325525

253762

41571372981

165211750100

170361678269

14.12382777

Tab. 7: Folge von pythagoreischen Dreiecken

Am Anfang ergeben sich teilweise negative Werte.