Hans Walser, [20240908a]

Pythagoreische Gitter

Idee und Anregung: Achilles Iatropoulos, Leverkusen

1 Worum es geht

Gemeinsame Gitterpunkte von Quadratgittern im Kontext der pythagoreischen Dreiecke.

2 Exemplarische Konstruktion

Die Konstruktion basiert auf dem pythagoreischen Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5.

Wir beginnen mit einem 10×10-Quadratgitter und zeichnen seinen Inkreis (Abb. 1).

Abb. 1: Gitter mit Inkreis

Der Inkreis verläuft durch zwölf Gitterpunkte. Je vier davon sind die Ecken eines Quadrates. Die Abbildung 2 zeigt ein Beispiel.

Abb. 2: Eckpunkte eines Quadrates

In diese vier ausgewählten Eckpunkte passen wir ein zweites 10×10-Quadratgitter ein (blau in Abb. 3). Das blaue Quadratgitter ist gegenüber dem schwarzen mit dem Längenfaktor √(½) ≈ 0.7071 verkleinert.

Abb. 3: Eingepasstes Quadratgitter

Das blaue und das schwarze Quadratgitter haben gemeinsame Gitterpunkte (rot in Abb. 4). Diese bilden ihrerseits ein Quadratgitter.

Abb. 4: Gemeinsame Gitterpunkte

3 Weitere Beispiele

Jedes pythagoreische Dreieck führt auf ein Beispiel.

Das Beispiel der Abbildung 5 basiert auf dem pythagoreischen Dreieck mit den Seitenlängen 5, 12 und 13.

Abb. 5: Beispiel

Das Beispiel der Abbildung 6 basiert auf dem pythagoreischen Dreieck mit den Seitenlängen 7, 24 und 25.

Abb. 6: Beispiel

4 Beweis

Beweis im Prinzip analog zu (Walser, 1995).

Literatur

Hoehn, Alfred und Walser, Hans (2003): Gittergeometrie und pythagoreische Dreiecke. Praxis der Mathematik (5/45), 215-217.

Walser, Hans (1993): Reguläre Vielecke in der Rastergeometrie. Didaktik der Mathematik (21), Seiten 230-237.

Walser, Hans (1995): Pythagoreische Dreiecke in der Gittergeometrie. Didaktik der Mathematik, (23), 193-205.