Hans Walser, [20260323]

Quadrat halbieren

1 Worum es geht

Flächenmäßige Halbierung eines Quadrates mit einem Einschiebeverfahren.

2 Konstruktion

In das Einheitsquadrat passen wir vier rechtwinklige Dreiecke ein (Abb. 1). Dadurch entsteht in der Mitte ein kleines Quadrat (rot in Abb. 1).

Abb. 1: Vier rechtwinklige Dreiecke

3 Problemstellung

In welcher Situation ist der Flächeninhalt des kleinen roten Quadrates die Hälfte des Flächeninhaltes des Startquadrates (Abb. 2)?

Abb. 2: Halb so große Quadratfläche

4 Bearbeitung

Mit einiger Rechnung ergibt sich für die Steigung der unteren schrägen Geraden gegenüber der horizontalen Kante des Startquadrates der Wert 2 – √3 ≈ 0.2679. Für den Steigungswinkel erhalten wir damit arctan(2 – √3) = 15°.

Das verblüfft, denn ich habe Terme mit √2 erwartet. Der Term √3 und der Winkel 15° gehören doch eher in die Geometrie des gleichseitigen Dreiecks.

5 Geometrischer Hintergrund

In das Startquadrat passen wir windrädchenartig vier gleichseitige Dreiecke ein (Abb. 3).

Abb. 3: Vier gleichseitige Dreiecke

Im gleichschenkligen Dreieck (braun in Abb. 4) ergeben sich die eingezeichneten Winkel. Insbesondere erscheint der 15°-Winkel.

Abb. 4: Gleichschenkliges Dreieck

Im gleichschenkligen Dreieck (grün in Abb. 5) ergeben sich entsprechend die eingezeichneten Winkel. Wiederum erscheint der 15°-Winkel.

Abb. 5: Zweites gleichschenkliges Dreieck

Die Ecktransversale mit einem Steigungswinkel 15° verläuft also durch die Spitzen zweier gleichseitiger Dreiecke (Abb. 6).

Abb. 6: Ecktransversale

Durch Rotationen um Vielfache eines rechten Winkels ergibt sich die Figur der Abbildung 7. Es erscheint das kleine rote Quadrat.

Abb. 7: Gesuchtes Quadrat

Die Diagonalenlänge des kleinen roten Quadrates ist gleich der Kantenlänge des Startquadrates. Damit ist sein Flächeninhalt halb so groß. Dies war zu zeigen.

6 Gemeinsame Zerlegung

Die Abbildung 8 zeigt eine gemeinsame Zerlegung der vier rechtwinkligen Dreiecke und des kleinen Quadrates. Die grünen Teilflächen innen und außen sind spiegelbildlich kongruent. Es ist eine optischen Täuschung, zu meinen, die äußeren Teile seien größer.

Abb. 8: Gemeinsame Zerlegung