Hans Walser, [20251020]

Quadrat und rechtwinkliges Dreieck

1 Worum es geht

Zerlegungsgleichheit

2 Konstruktion

Zur Hyperbel xy = 1 zeichnen wir den kleinsten Kreis, der beide Hyperbeläste berührt (Abb. 1). Dieser Kreis hat den Radius √2.

Abb. 1: Hyperbel mit Inkreis

Wir zeichnen ein Quadrat mit der Seitenlänge des Inkreises, also mit der Seitenlänge √2 (Abb. 2). Das Quadrat hat den Flächeninhalt 2.

Abb. 2: Quadrat

Auf der Hyperbel wählen wir einen beliebigen Punkt mit der x-Koordinate x ∈ [√(½), √2] (Abb. 3). Die Hyperbeltangente in diesem Punkt definiert zusammen mit den Koordinatenachsen ein rechtwinkliges Dreieck.

Abb. 3: Rechtwinkliges Dreieck

Das Dreieck hat ebenfalls den Flächeninhalt 2. Beweis rechnerisch.

3 Problemstellung

Gesucht ist eine gemeinsame Zerlegung von Quadrat und Dreieck.

4 Sonderfälle

In den Grenzfällen ist die gemeinsame Zerlegung sehr einfach (Abb. 4).

Abb. 4.1: Grenzfall links

Abb. 4.2: Grenzfall rechts

Im symmetrischen Fall gibt es zwei sehr einfache gemeinsame Zerlegungen (Abb. 5).

Abb. 5.1: Symmetrischer Fall

Abb. 5.2: Elegante Lösung im symmetrischen Fall

5 Allgemeiner Fall

5.1 Lösung mit sieben Teilflächen

Im allgemeinen Fall habe ich lediglich eine Lösung mit sieben Teilflächen gefunden (Abb. 6).

Abb. 6: Allgemeiner Fall

Entsprechende (gleichfarbige) Flächenanteile können entweder durch eine Translation (gelb, rot, blau, hellblau) oder eine Punktspiegelung (grün, purpur, gold) zur Deckung gebracht werden.

5.2 Kinematik

Die Lösung des allgemeinen Falles gestattet eine Kinematik (Abb. 7).

Abb. 7: Kinematik

5.3 Grenzfälle

In den Grenzfällen verschwinden einige Flächenanteile (Abb. 8).

Abb. 8.1: Grenzfall links

Abb. 8.2: Grenzfall rechts

5.4 Symmetrischer Fall

Der symmetrische Fall (rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck) ist nicht eben symmetrisch (Abb. 9).

Abb. 9: Symmetrischer Fall

5.5 Einschränkung

Die allgemeine Lösung funktioniert nur für Punkte auf der Hyperbel mit der x-Koordinate x ∈ [√(½), √2]. Für andere Punkte auf der Hyperbel muss eine andere gemeinsame Zerlegung gefunden werden.