1 Worum es geht

In einer Konstruktion im Kontext des Goldenen Schnittes erscheint die Zahl 3.

2 Konstruktion

Wir beginnen mit dem Einheitsquadrat, also einem Quadrat mit Seitenlänge 1. Sein Flächeninhalt ist 1.

In dieses Quadrat zeichnen wir eine Strecke von einer Seitenmitte aus zu einem der beiden nichtanliegenden Eckpunkt (Abb. 1). Diese Strecke wird gelegentlich als „Halbdiagonale“ bezeichnet.

Abb. 1: Startquadrat und „Halbdiagonale“

Die Halbdiagonale hat die Länge ½√5 ≈ 1.118. Dies ist ein Bestandteil des Goldenen Schnittes.

Zyklisch entsprechend zeichnen wir die drei weiteren Halbdiagonalen. Die vier Halbdiagonalen beranden ein Quadrat (rot in Abb. 2).

Abb. 2: Kleines Quadrat

Dieses rote kleine Quadrat hat den Flächeninhalt ⅕ und damit die Seitenlänge √⅕ ≈ 0.447. Nachweis durch Rechnung. Dass die Zahl 5 hier eine Rolle spielt, war zu erwarten, da sie eine Schlüsselzahl im Kontext des Goldenen Schnittes ist.

Nun schlagen wir einen Kreisbogen gemäß Abbildung 3. Damit erhalten wir den äußeren Teilpunkt der Quadratgrundseite bei der Teilung im Goldenen Schnitt.

Abb. 3: Kreisbogen. Goldener Schnitt

Entsprechend verfahren wir mit den drei übrigen Quadratseiten (Abb. 4).

Abb. 4: Vier äußere Teilpunkte im Goldenen Schnitt

Die vier äußeren Teilpunkte bilden die Ecken eines Quadrates (gelb in Abb. 5).

Dieses Quadrat hat den Flächeninhalt 3 und die Seitenlänge √3 ≈ 1.732. Nachweis durch Rechnung. Das Auftreten der Zahl 3 im Kontext des Goldenen Schnittes hat mich erstaunt.

Hintergrund: Mit Φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618 (Goldener Schnitt) wird Φ² + (1/Φ)² = 3.

Abb. 5: Dreifaches Quadrat

Die Abbildung 6 zeigt die drei Quadrate. Sie stehen im Flächenverhältnis ⅕:1:3 = 1:5:15.

Abb. 6: Drei Quadrate

Weblink

Hans Walser: Quadrat verdreifachen

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Q/Quadrat_verdreifachen/Quadrat_verdreifachen.html

Literatur

Walser, Hans (2024): Der Goldene Schnitt. Geometrische und zahlentheoretische Betrachtungen. 7. Auflage. Springer Spektrum.
Print-ISBN 978-3-662-68556-3. E-Book_ISBN 978-3-662-68557-0.
https://doi.org/10.1007/978-3-662-68557-0

Walser, Hans (2024): The Golden Ratio. Geometric and Number Theoretical Considerations. Springer. ISBN 978-3-662-69889-1, ISBN 978-3-662-69890-7 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-69890-7