Hans Walser, [20160501]
Quadrate ansetzen
Einem regelmŠ§igen n-Eck setzen wir Quadrate an und iterieren den Prozess. Die QuadratflŠchen bilden eine Folge, die mit der Fibonacci-Folge verwandt ist.
Mitteilung von Resultaten.
Wir setzen einer Strecke zunŠchst zwei rote Quadrate an, anschlie§end zwei grŸne und dann zwei blaue (Abb.1).
Abb. 1: Start mit einer Strecke
Weiter setzen wir zwei zyan, zwei magenta und zwei goldgelbe Quadrate an (Abb. 2).
Abb. 2: Weitere Quadratpaare
Die Startstrecke habe die LŠnge 1.
Mit f1 bezeichnen wir den FlŠcheninhalt eines roten Quadrates, mit f2, f3, f4, ... den FlŠcheninhalt eines grŸnen, blauen, zyan, ... Quadrates.
Wir erhalten (Tab. 1):
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
fn |
1 |
4 |
25 |
144 |
841 |
4900 |
fn = an2 |
12 |
22 |
52 |
122 |
292 |
702 |
Tab. 1: QuadratflŠchen
Es sind alles Quadratzahlen.
Es gilt die Rekursion:
(1)
FŸr den Koeffizienten 5 in (1) gilt:
(2)
FŸr die Quadratwurzeln gilt die Rekursion:
(3)
Die Tabelle 2 gibt weitere Werte.
n |
fn |
fn+1/fn |
an |
an+1/an |
1 |
1 |
4 |
1 |
2 |
2 |
4 |
6.250000000 |
2 |
2.500000000 |
3 |
25 |
5.760000000 |
5 |
2.400000000 |
4 |
144 |
5.840277778 |
12 |
2.416666667 |
5 |
841 |
5.826397146 |
29 |
2.413793103 |
6 |
4900 |
5.828775510 |
70 |
2.414285714 |
7 |
28561 |
5.828367354 |
169 |
2.414201183 |
8 |
166464 |
5.828437380 |
408 |
2.414215686 |
9 |
970225 |
5.828425365 |
985 |
2.414213198 |
10 |
5654884 |
5.828427427 |
2378 |
2.414213625 |
11 |
32959081 |
5.828427073 |
5741 |
2.414213552 |
12 |
192099600 |
5.828427134 |
13860 |
2.414213564 |
13 |
1119638521 |
5.828427123 |
33461 |
2.414213562 |
14 |
6525731524 |
5.828427125 |
80782 |
2.414213562 |
15 |
38034750625 |
5.828427125 |
195025 |
2.414213562 |
16 |
221682772224 |
5.828427125 |
470832 |
2.414213562 |
17 |
1292061882721 |
5.828427125 |
1136689 |
2.414213562 |
18 |
7530688524100 |
5.828427125 |
2744210 |
2.414213562 |
19 |
43892069261881 |
5.828427125 |
6625109 |
2.414213562 |
20 |
255821727047184 |
5.828427125 |
15994428 |
2.414213562 |
Tab. 2: Weitere Werte
Es gelten folgende Grenzwerte:
(4)
Aus dem zweiten Grenzwert folgt, dass sich die Umrissrechtecke der Abbildungen 1 und 2 einem Rechteck mit dem SeitenverhŠltnis annŠhern. Dieses Grenzrechtreck wird als Silbernes Rechteck bezeichnet (Walser 2013a, S. 116), (Walser 2013b, S. 63f).
Wir starten mit einem gleichseitigen Dreieck der SeitenlŠnge 1 (Abb. 3 und 4).
Abb. 3: Start mit einem gleichseitigen Dreieck
Abb. 4: Weitere Quadrate
Wir erhalten entsprechend (Tab. 3):
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
fn |
1 |
3 |
16 |
75 |
361 |
1728 |
Bemerkungen |
12 |
|
42 |
|
192 |
123 |
Tab. 3: QuadratflŠchen
Es gilt die Rekursion:
(5)
FŸr den Koeffizienten 4 in (5) gilt:
(6)
Tabelle 4 gibt weitere Werte.
n |
fn |
fn+1/fn |
Bemerkungen |
1 |
1 |
3 |
12 |
2 |
3 |
5.333333333 |
|
3 |
16 |
4.687500000 |
42 |
4 |
75 |
4.813333333 |
|
5 |
361 |
4.786703601 |
192 |
6 |
1728 |
4.792245370 |
123 |
7 |
8281 |
4.791088033 |
912 |
8 |
39675 |
4.791329553 |
|
9 |
190096 |
4.791279143 |
4362 |
10 |
910803 |
4.791289664 |
|
11 |
4363921 |
4.791287468 |
20892 |
12 |
20908800 |
4.791287927 |
|
13 |
100180081 |
4.791287831 |
100092 |
14 |
479991603 |
4.791287851 |
|
15 |
2299777936 |
4.791287847 |
479562 |
16 |
11018898075 |
4.791287848 |
|
17 |
52794712441 |
4.791287847 |
2297712 |
18 |
252954664128 |
4.791287847 |
|
19 |
1211978608201 |
4.791287847 |
11008992 |
20 |
5806938376875 |
4.791287847 |
|
Tab. 4: Weitere Werte
Jede zweite Zahl ist eine Quadratzahl. Die Kubikzahl 1728 = 123 ist singulŠr.
Wir haben den Grenzwert:
(7)
Die Folge bn der ganzzahligen Wurzeln
1,4,19, 91, 436, ... (8)
hat die Rekursion
(9)
Die Quotienten-Folge
der Folge bn
hat ebenfalls den Grenzwert (7).
Und nun das
†berraschende: Wir kšnnen auch mit einem beliebigen Dreieck starten (Abb. 5 und
6).
Abb. 5: Start mit einem beliebigen Dreieck
Abb. 6: Weitere Quadrate
Die Quadrate derselben Farbe sind nicht mehr gleich gro§. Daher ersetzen wir die einzelnen QuadratflŠchen durch die Summen der QuadratflŠchen gleicher Farbe. So sei s1 die FlŠchensumme der drei roten Quadrate, s2, s3, s4, ... die FlŠchensummen der grŸnen, blauen, zyan, ... Quadrate.
Die Ma§zahlen sind jetzt nicht mehr ãschšnÒ, aber es gilt fŸr die Folge sn nach wie vor die Rekursion entsprechend zu (5):
(10)
Ich habe keinen Beweis fŸr diesen Sachverhalt.
Wir starten mit einem Quadrat der SeitenlŠnge 1. Die Abbildung 7 zeigt die Situation.
Abb. 7: Start mit einem Quadrat
Wir erhalten entsprechend (Tab. 5):
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
fn |
1 |
2 |
9 |
32 |
121 |
450 |
Bemerkungen |
12 |
|
32 |
|
112 |
|
Tab. 5: QuadratflŠchen
Es gilt die Rekursion:
(11)
FŸr den Koeffizienten 3 in (11) gilt:
(12)
Tabelle 6 gibt weitere Werte.
n |
fn |
fn+1/fn |
Bemerkungen |
1 |
1 |
2 |
12 |
2 |
2 |
4.500000000 |
|
3 |
9 |
3.555555556 |
32 |
4 |
32 |
3.781250000 |
|
5 |
121 |
3.719008264 |
112 |
6 |
450 |
3.735555556 |
|
7 |
1681 |
3.731112433 |
412 |
8 |
6272 |
3.732302296 |
|
9 |
23409 |
3.731983425 |
1532 |
10 |
87362 |
3.732068863 |
|
11 |
326041 |
3.732045970 |
5712 |
12 |
1216800 |
3.732052104 |
|
13 |
4541161 |
3.732050460 |
21312 |
14 |
16947842 |
3.732050901 |
|
15 |
63250209 |
3.732050783 |
79532 |
16 |
236052992 |
3.732050814 |
|
17 |
880961761 |
3.732050806 |
296812 |
18 |
3287794050 |
3.732050808 |
|
19 |
12270214441 |
3.732050807 |
1107712 |
20 |
45793063712 |
3.732050808 |
|
Tab. 6: Weitere Werte
Jede zweite Zahl ist eine Quadratzahl.
Wir haben fŸr die Quotienten-Folge den Grenzwert:
(13)
Die Folge bn der ganzzahligen Wurzeln
1, 3, 11, 41, 153, ... (14)
hat die Rekursion
(15)
Die Quotienten-Folge
der Folge bn
hat ebenfalls den Grenzwert (13).
Leider ist es so,
dass entsprechendes fŸr ein beliebiges Viereck als Startfigur nicht gilt.
Wir starten mit einem regelmŠ§igen FŸnfeck der SeitenlŠnge 1. Die Abbildung 8 zeigt die Situation.
Abb. 8: Start mit einem regelmŠ§igen FŸnfeck
FŸr die QuadratflŠchen erhalten wir (Tab. 7):
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
fn |
1 |
|
|
|
|
|
fn |
1 |
|
|
|
|
|
fn |
1 |
1.381966 |
5.673762 |
15.806504 |
49.783299 |
150.558920 |
Tab. 7: QuadratflŠchen
Die Zahlen sind unschšn, erinnern aber an den Goldenen Schnitt.
Es gilt die Rekursion:
(16)
Tabelle 8 gibt weitere Werte.
n |
fn |
fn+1/fn |
1 |
1 |
1.381966012 |
2 |
1.381966012 |
4.105572810 |
3 |
5.673762082 |
2.785894840 |
4 |
15.80650451 |
3.149545107 |
5 |
49.78329894 |
3.024285726 |
6 |
150.5589204 |
3.064593260 |
7 |
461.4018527 |
3.051323818 |
8 |
1407.886463 |
3.055659975 |
9 |
4302.022314 |
3.054239569 |
10 |
13139.40678 |
3.054704486 |
Tab. 8: Weitere Werte
Wir haben fŸr die Quotienten-Folge den Grenzwert:
(17)
Wir starten mit einem regelmŠ§igen Sechseck der SeitenlŠnge 1. Die Abbildung 9 zeigt die Situation. Vgl. (Walser, 2012, S. 28-30).
Abb. 9: Start mit einem regelmŠ§igen Sechseck
Wir erhalten (Tab. 9):
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
fn |
1 |
1 |
4 |
9 |
25 |
64 |
Bemerkungen |
12 |
12 |
22 |
32 |
52 |
82 |
Tab. 9: QuadratflŠchen
Wir erhalten die Quadrate der Fibonacci-Zahlen.
Es gilt die Rekursion:
(18)
FŸr den Koeffizienten 2 in (18) gilt:
(19)
Die Tabelle 10 gibt weitere Werte.
n |
fn |
fn+1/fn |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
4 |
3 |
4 |
2.250000000 |
4 |
9 |
2.777777778 |
5 |
25 |
2.560000000 |
6 |
64 |
2.640625000 |
7 |
169 |
2.609467456 |
8 |
441 |
2.621315193 |
9 |
1156 |
2.616782007 |
10 |
3025 |
2.618512397 |
11 |
7921 |
2.617851281 |
12 |
20736 |
2.618103781 |
13 |
54289 |
2.618007331 |
14 |
142129 |
2.618044171 |
15 |
372100 |
2.618030099 |
16 |
974169 |
2.618035474 |
17 |
2550409 |
2.618033421 |
18 |
6677056 |
2.618034205 |
19 |
17480761 |
2.618033906 |
20 |
45765225 |
2.618034020 |
Tab. 10: Weitere Werte
Wir haben fŸr die Quotienten-Folge den Grenzwert:
(20)
Der Grenzwert ist das Quadrat des Goldenen Schnittes.
Wir starten mit einem regelmŠ§igen Siebeneck der SeitenlŠnge 1 (Abb. 10).
Abb. 10: Start mit einem regelmŠ§igen Siebeneck
Wir erhalten (Tab. 11):
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
fn |
1 |
|
|
|
|
|
fn |
1 |
0.75302 |
3.07308 |
5.70723 |
14.63905 |
32.59437 |
Tab. 11: QuadratflŠchen
Es gilt die Rekursion:
(21)
Die Tabelle 12 gibt weitere Werte.
n |
fn |
fn+1/fn |
1 |
1 |
0.7530203968 |
2 |
0.7530203968 |
4.081005675 |
3 |
3.073080512 |
1.857170000 |
4 |
5.707232935 |
2.564999245 |
5 |
14.63904817 |
2.226535830 |
6 |
32.59436527 |
2.365252509 |
7 |
77.09390424 |
2.304290169 |
8 |
177.6467256 |
2.330305573 |
9 |
413.9711547 |
2.319060871 |
10 |
960.0243067 |
2.323894644 |
Tab.12: Weitere Werte
Wir haben fŸr die Quotientenfolge den Grenzwert:
(22)
FŸr ein regelmŠ§iges k-Eck als Startfigur ergibt sich die Rekursion:
(23)
FŸr den Grenzwert der Quotienten-Folge erhalten wir:
(24)
Die Tabelle 13 gibt die Grenzwerte.
Eckenzahl k |
|
2 |
5.828427124 |
3 |
4.791287848 |
4 |
3.732050808 |
5 |
3.054589814 |
6 |
2.618033988 |
7 |
2.322438488 |
8 |
2.112388720 |
9 |
1.956898374 |
10 |
1.837852792 |
11 |
1.744146651 |
12 |
1.668669260 |
13 |
1.606690570 |
14 |
1.554958131 |
15 |
1.511170296 |
16 |
1.473656957 |
17 |
1.441179400 |
18 |
1.412800982 |
19 |
1.387801235 |
20 |
1.365617499 |
Tab. 13: Grenzwerte der Quotienten-Folgen
Literatur
Walser, Hans (2012): Fibonacci. Zahlen und Figuren. Leipzig, EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-60-8.
Walser, Hans (2013a): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing Ÿber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig. ISBN 978-3-937219-85-1.
Walser, Hans (2013b): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2013. ISBN 978-3-937219-69-1.