Hans Walser, [20070617a]
Grafische Lšsung einer quadratischen Gleichung
Anregung: D. M. und M. P.
Wir lšsen die Gleichung:
Die Gleichung ist in einer in den Schulen unŸblichen Form gegeben. Diese Form ist aber die eigentlich ãnatŸrlicheÒ. Wir erhalten fŸr die Lšsungen:
und
Beispiel:
In der quadratischen Gleichung ist
und
und daher:
Wir besprechen drei verschiedene Methoden, die Gleichung grafisch zu lšsen. Bei allen drei Methoden muss eine Einheitsstrecke e gegeben sein.
Diese
Methode findet sich vielerorts in der Literatur. Wir verwenden ein kartesisches
Koordinatensystem (damit ist auch die EinheitslŠnge gegeben). †ber der Strecke AB mit und
zeichnen wir den
Thaleskreis und schneiden ihn mit der x-Achse.
Die beiden Schnittpunkte sind
und
.
Die Figur
illustriert den Fall . Es ist
und
.
Konstruktion
Konstruktionsprotokoll:
Nr. |
Name |
Definition |
Algebra |
1 |
Punkt A |
Punkt auf yAchse |
A = (0, 1) |
2 |
Zahl p |
|
p = 4 |
3 |
Zahl q |
|
q = 12 |
4 |
Punkt B |
(2 p, q) |
B = (8, 12) |
5 |
Punkt M |
Mittelpunkt von A, B |
M = (4, 6.5) |
6 |
Kreis k |
Kreis mit Mittelpunkt M durch A |
k: (x - 4)² + (y - 6.5)² = 46.25 |
7 |
Punkt C |
Schnittpunkt von k, xAchse |
C = (6, 0) |
7 |
Punkt D |
Schnittpunkt von k, xAchse |
D = (2, 0) |
Es ist . Der Thaleskreis k
hat den Radius
und damit die
Kreisgleichung:
FŸr den
Schnitt mit der x-Achse setzen wir :
Die Schnittpunkte C und D fŸhren also zu den Lšsungen unserer quadratischen Gleichung.
Das Verfahren funktioniert auch fŸr negative p und/oder q.
Wir
zeichnen ,
und
. †ber der Strecke
zeichnen wir den
Thaleskreis und im Teilpunkt
eine Senkrechte
. Das gibt auf dem Thaleskreis den Punkt A. Nun eine Parallele a
zur Basislinie durch A.
Auf der Parallelen a zeichnen wir den Punkt B mit der x-Koordinate p.
Nun
zeichnen wir einen Kreis um B mit Radius
p und schneiden ihn mit der x-Achse. Die Schnittpunkte C und D haben die x-Koordinaten
beziehungsweise
.
Die Figur
illustriert den Fall . Es ist
und
.
Konstruktion
Konstruktionsprotokoll:
Nr. |
Name |
Definition |
Algebra |
1 |
Zahl p |
|
p = 4 |
2 |
Zahl q |
|
q = 12 |
3 |
Punkt O |
|
O = (0, 0) |
4 |
Punkt Q1 |
(q, 0) |
Q1 = (12,
0) |
5 |
Punkt Q2 |
(q + 1,
0) |
Q2 = (13,
0) |
6 |
Punkt M |
Mittelpunkt
von O, Q2 |
M = (6.5,
0) |
7 |
Gerade q1 |
x = q |
q1: x = 12 |
8 |
Kreis t |
Kreis mit Mittelpunkt M
durch O |
t: (x - 6.5)² +
y² = 42.25 |
9 |
Punkt A |
Schnittpunkt
von t, q1 |
A = (12,
3.46) |
10 |
Gerade a |
Gerade durch A parallel
zu xAchse |
a: y = 3.46 |
11 |
Gerade p1 |
x = p |
p1: x = 4 |
12 |
Punkt B |
Schnittpunkt
von a, p1 |
B = (4,
3.46) |
13 |
Kreis k |
Kreis mit
Mittelpunkt B und Radius p |
k: (x -
4)² + (y - 3.46)² = 16 |
14 |
Punkt C |
Schnittpunkt
von k, xAchse |
C = (6,
0) |
14 |
Punkt D |
Schnittpunkt
von k, xAchse |
D = (2,
0) |
15 |
Punkt E |
Schnittpunkt
von k, a |
E = (8,
3.46) |
15 |
Punkt F |
Schnittpunkt
von k, a |
F = (0,
3.46) |
Aus dem
Hšhensatz im rechtwinkligen Dreieck ergibt sich
. Aus dem Hšhensatz im rechtwinkligen Dreieck
ergibt sich
.
Somit haben wir:
Somit ist
eine Lšsung der
gegebenen quadratischen Gleichung. Analog fŸr
.
Das
Verfahren funktioniert auch fŸr , nicht aber fŸr
.
Wir
zeichnen die Lšsungsformel und
nach.
Die Figur
illustriert den Fall . Es ist
und
.
Konstruktion
Konstruktionsprotokoll:
Nr. |
Name |
Definition |
Algebra |
1 |
Zahl p |
|
p = 4 |
2 |
Zahl q |
|
q = 12 |
3 |
Punkt O |
|
O = (0, 0) |
4 |
Punkt P1 |
(p, 0) |
P1 = (4,
0) |
5 |
Punkt P2 |
(p, p) |
P2 = (4,
4) |
6 |
Punkt P3 |
(0, p) |
P3 = (0,
4) |
7 |
Punkt P4 |
(p, -p) |
P4 = (4,
-4) |
8 |
Vieleck P |
Vieleck
O, P1, P2, P3 |
P = 16 |
8 |
Strecke o |
Strecke[O,
P1] von Vieleck P |
o = 4 |
8 |
Strecke
p1 |
Strecke[P1,
P2] von Vieleck P |
p1 = 4 |
8 |
Strecke
p2 |
Strecke[P2,
P3] von Vieleck P |
p2 = 4 |
8 |
Strecke
p3 |
Strecke[P3,
O] von Vieleck P |
p3 = 4 |
9 |
Punkt Q1 |
(q, 0) |
Q1 = (12,
0) |
10 |
Punkt Q2 |
(q, p -
1) |
Q2 = (12,
3) |
11 |
Punkt Q3 |
(q, p) |
Q3 = (12,
4) |
12 |
Punkt Q4 |
(0, p -
1) |
Q4 = (0,
3) |
13 |
Vieleck Q |
Vieleck
Q4, Q2, Q3, P3 |
Q = 12 |
13 |
Strecke
q4 |
Strecke[Q4,
Q2] von Vieleck Q |
q4 = 12 |
13 |
Strecke
q2 |
Strecke[Q2,
Q3] von Vieleck Q |
q2 = 1 |
13 |
Strecke
q3 |
Strecke[Q3,
P3] von Vieleck Q |
q3 = 12 |
13 |
Strecke
p31 |
Strecke[P3,
Q4] von Vieleck Q |
p31 = 1 |
14 |
Gerade a |
Gerade durch Q3, Q2 |
a: x = 12 |
15 |
Gerade d |
Gerade durch P1, P2 |
d: x = 4 |
16 |
Gerade b |
Gerade durch Q4, Q2 |
b: y = 3 |
17 |
Punkt A |
Schnittpunkt
von b, d |
A = (4,
3) |
18 |
Gerade c |
Gerade durch P3, A |
c: x + 4y = 16 |
19 |
Punkt B |
Schnittpunkt
von a, c |
B = (12,
1) |
20 |
Gerade e |
Gerade durch B parallel
zu xAchse |
e: y = 1 |
21 |
Punkt C |
Schnittpunkt
von d, e |
C = (4,
1) |
22 |
Punkt D |
Schnittpunkt
von e, yAchse |
D = (0,
1) |
23 |
Punkt M |
Mittelpunkt
von C, P4 |
M = (4,
-1.5) |
24 |
Kreis k |
Kreis mit
Mittelpunkt M durch C |
k: (x -
4)² + (y + 1.5)² = 6.25 |
25 |
Punkt E |
Schnittpunkt
von k, xAchse |
E = (6, 0) |
25 |
Punkt F |
Schnittpunkt
von k, xAchse |
F = (2, 0) |
Beschreibung des Vorgehens:
Wir
zeichnen als Quadrat mit
den Ecken
. Dann zeichnen wir das Rechteck
mit den Ecken
und verwandeln
dieses Rechteck mit dem Gnomonverfahren in ein flŠchengleiches Rechteck
mit der LŠnge p. Das Differenzrechteck
hat nun den
FlŠcheninhalt
. Um daraus die Wurzel zu ziehen, verwenden wir den
Hšhensatz. Wir zeichnen den Thaleskreis k
Ÿber der Strecke
mit
und schneiden
diesen Thaleskreis mit der x-Achse.
Das gibt die Punkte
und
. Die x-Koordinaten
der Punkte E und F sind die Lšsungen der quadratischen Gleichung.
Das Verfahren funktioniert auch fŸr negative p und/oder q.
FŸr ergibt sich die
quadratische Gleichung
mit den beiden
konjugiert komplexen Lšsungen
. Wie sieht das bei unseren grafischen Verfahren aus?
Der Kreis k schneidet die x-Achse nicht.
Keine reelle Lšsung
Um das Problem zu Lšsen, gehen wir in den Raum. Die x-Achse soll die bisherige Rolle weiterspielen, die y-Achse halten wir frei fŸr die imaginŠre Richtung, so dass die x,y-Ebene die Rolle der Gau§schen Zahlenebene Ÿbernimmt, und die z-Achse soll die Rolle der bisherigen y-Achse Ÿbernehmen. Das sieht dann zunŠchst so aus:
Im Raum
Wenn wir
in der Kugelgleichung ein Vorzeichen
abŠndern, zum Beispiel zu
, erhalten wir ein einschaliges Rotationshyperboloid mit
gleichseitigen Hyperbeln als Profillinien. Der Kehlkreis (Breitenkreis mit
kleinstem Umfang) hat in diesem Beispiel den Radius 1.
Rotationshyperboloid
Wir verwenden nun solche Hyperboloide zur Konstruktion der grafischen Lšsungen der quadratischen Gleichung.
Im
Beispiel verwenden wir den
gezeichneten Kreis als Kehlkreis eines Hyperboloides. Dieses ist durch den
Kehlkreis eindeutig festgelegt. Das Hyperboloid schneiden wir mit der x,y-Ebene, also mit der Gau§schen Ebene.
Die Schnittfigur ist eine Hyperbel, deren Scheitel sind die Lšsungen.
Schnitt mit der Gau§schen Zahlenebene
Dieses Verfahren funktioniert auch im reellen Fall. Die Hyperbel erscheint dann um 90¡ gedreht. Die Scheitel liegen auf der x-Achse.
Somit haben wir allgemein:
Wir zeichnen zunŠchst in der x,z-Ebene den Kehlkreis und dazu das Hyperboloid. Der schnitt mit der x,y-Ebene, also der Gau§schen Zahlenebene, ergibt eine Hyperbel. Deren Scheitelpunkt sind die Lšsungen der quadratischen Gleichung.
Beweis:
Der Kehlkreis hat die Gleichungen:
Das Hyperboloid hat daher die Gleichung:
Schnitt
mit ergibt:
Dies lŠsst sich vereinfachen zu:
Das ist die Gleichung einer gleichseitigen Hyperbel in der x,y-Ebene.
Fallunterscheidung:
(I)
Die
Hyperbel schneidet die x-Achse. FŸr erhalten
und
.
Die Figur
illustriert den Fall . Es ist
, sowie
und
.
Hyperbel mit Scheitelpunkten
(II)
Die Hyperbel degeneriert zu zwei Geraden:
Die beiden Scheitel fallen zusammen und sind reell. Wir haben eine Doppellšsung.
Die Figur
illustriert den Fall . Es ist
, sowie
.
Doppellšsung
(III)
Die
Hyperbel hat die
Scheitelpunkte auf der Symmetrieachse
. FŸr
ergibt sich
Die
Scheitelpunkte haben also die Koordinaten ; es ist also
und
.
Die Figur
illustriert den Fall . Die Hyperbel hat die Gleichung
. Es ist
.
Komplexer Fall
In den Methoden Zweimalige Anwendung des Hšhensatzes und Stur nach Formel kann všllig analog mit dem Hyperboloid gearbeitet werden.