Hans Walser, [20220624]
Quadratische Gleichung
Grafische Lösung einer quadratischen Gleichung.
Wir bearbeiten die quadratische Gleichung in der Form (sogenannte p-q-Formel):
Die formelmäßige Lösung ist:
In einem kartesischen Koordinatensystem schneiden wir den Thaleskreis k über den Punkten (–p, q) und (0, 1) mit der x-Achse (Abb. 1). Die x-Koordinaten der Schnittpunkte sind die Lösungen der quadratischen Gleichung.
Abb. 1: Grafisches Vorgehen
Der Nachweis geschieht rechnerisch.
Der Thaleskreis k hat den Mittelpunkt M und den Radius r:
Daraus ergibt sich für den Thaleskreis k die Kreisgleichung:
Diese Kreisgleichung lässt sich umformen zu:
Beim Schnitt mit der x-Achse ist y = 0. Von der Kreisgleichung bleibt übrig:
Dies ist aber unsere quadratische Gleichung.
Wir berechnen x1 mit Hilfe des gelben rechtwinkligen Dreiecks.
Abb. 2: Nachweis mit Pythagoras
Es ist:
Dies entspricht der Lösung gemäß der p-q-Formel. Für x2 entsprechend.
Weblinks
Hans Walser: Grafische Lösung einer quadratischen Gleichung
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Q/Quadratische_Gleichung/Quadratische_Gleichung.htm
Hans Walser: Quadratische Ergänzung
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Q/Quadr_Ergaenzung/Quadr_Ergaenzung.htm