Hans Walser, [20070407a], [20131218]

Quadratisches Rad

Anregung: T. U. – C. S.

1        Die Kettenlinie

Der Funktionsgraph von  wird als Kettenlinie bezeichnet, weil eine durchhŠngende Kette diese Form annimmt.

 

Kettenlinie

 

Wir denken uns nun ein Lineal, das im Abstand 1 unterhalb der Oberkante einen Punkt P enthŠlt, und legen dieses Lineal so an den Scheitel S der Kettenlinie an, dass der Punkt P senkrecht unter den Scheitel S zu liegen kommt.

 

Anlegen des Lineals

 

Dann liegt der Punkt P natŸrlich im Ursprung.

Nun wŠlzen wir das Lineal auf der Kettenlinie ab und studieren die Bewegung des Punktes P.

 

AbgewŠlztes Lineal

 

Die Figur suggeriert, dass P senkrecht unterhalb des BerŸhrungspunktes R auf der horizontalen Achse liegt. Dies ist auch richtig:

Der Punkt R habe die Darstellung:

 

 

 

FŸr die abgewŠlzte LŠnge s erhalten wir:

 

 

 

FŸr den Steigungswinkel  gilt:

 

 

Daraus ergibt sich:

 

 

 

 

Somit hat der Punkt P die Darstellung:

 

 

 

 

 

 

Damit liegt der Punkt P senkrecht unterhalb des BerŸhrungspunktes R auf der horizontalen Achse. Wir haben eine so genannte GeradfŸhrung.

2        Das quadratische Rad

Wir ersetzen den Streifen durch ein Quadrat der SeitenlŠnge 2 mit P als Mittelpunkt.

 

Quadratisches Rad

 

Dieses kšnnen wir nun so lange abwŠlzen, bis die rechte obere Ecke auf der Kettenlinie liegt. Dann ist . FŸr den zugehšrigen t-Wert  ergibt sich wegen :

 

 

An dieser Stelle setzen wir nun einen weiteren Kettelinienbogen an. Bei der nŠchsten Quadratecke verfahren wir wieder so. Damit erhalten wir eine Girlande von Kettenlinienbšgen. Wenn wir schlie§lich noch an der horizontalen Achse spiegeln, ergibt sich eine Trasse, auf welchem das quadratische Rad všllig horizontal abrollen kann.

 

Trasse fŸr das quadratische Rad

 

Nach vier Umdrehungen ist das Rad wieder in gleicher Lage, weil der volle Umfang 8 abgewŠlzt worden ist. Damit ergibt sich die PeriodenlŠnge p:

 

 

3        Das dreieckige Rad?

Analog scheint es fŸr ein gleichseitiges Dreieck mit Innenkreisradius 1 zu funktionieren. Die halbe SeitenlŠnge ist dann . Wir erhalten

 

 

und die PeriodenlŠnge p:

 

 

Die Trasse sieht so aus:

 

Trasse fŸr dreieckiges Rad?

 

Das funktioniert jetzt allerdings leider nicht. Eine Dreiecksecke nŠhert sich orthogonal der Trasse und hebt auch wieder orthogonal zur Trasse ab. In der Trasse habe wir aber dort einen Winkel von nur 60¡, so dass das Dreieck einhakt. Das folgende Bild zeigt die Situation stark vergrš§ert.

 

Dreieck hakt ein

 

4        RegelmŠ§iges n-Eck

Allgemein geht es aber fŸr ein regelmŠ§iges n-Eck mit  und Innenkreisradius 1.

 

RegelmŠ§iges FŸnfeck

 

Die halbe SeitenlŠnge dann . Weiter ist  und fŸr die PeriodenlŠnge p ergibt sich .

5        Das Rad wird neu erfunden

FŸr  wird das Rad rund und die PeriodenlŠnge . Es gilt daher:

 

 

Schauen wir das einmal an:

 

n

n*arcsinh(tan(PI/n))

3

3.9508736908

4

3.5254943481

5

3.3713773881

6

3.2958368660

7

3.2526986741

8

3.2255977533

9

3.2074065425

10

3.1945825948

100

3.1421095524

1000

3.1415978213

10000

3.1415927053

100000

3.1415926541

 

Umwerfend ist das allerdings nicht. FŸr  wird  klein und beide beteiligten Funktionen kšnnen liniearisiert werden. Dann kŸrzt sich das n heraus und es bleibt  Ÿbrig.