Hans Walser, [20070407a], [20131218]
Quadratisches Rad
Anregung: T. U. – C. S.
Der Funktionsgraph von wird als Kettenlinie bezeichnet, weil eine durchhŠngende Kette diese Form annimmt.
Kettenlinie
Wir denken uns nun ein Lineal, das im Abstand 1 unterhalb der Oberkante einen Punkt P enthŠlt, und legen dieses Lineal so an den Scheitel S der Kettenlinie an, dass der Punkt P senkrecht unter den Scheitel S zu liegen kommt.
Anlegen des Lineals
Dann liegt der Punkt P natŸrlich im Ursprung.
Nun wŠlzen wir das Lineal auf der Kettenlinie ab und studieren die Bewegung des Punktes P.
AbgewŠlztes Lineal
Die Figur suggeriert, dass P senkrecht unterhalb des BerŸhrungspunktes R auf der horizontalen Achse liegt. Dies ist auch richtig:
Der Punkt R habe die Darstellung:
FŸr die abgewŠlzte LŠnge s erhalten wir:
FŸr den Steigungswinkel gilt:
Daraus ergibt sich:
Somit hat der Punkt P die Darstellung:
Damit liegt der Punkt P senkrecht unterhalb des BerŸhrungspunktes R auf der horizontalen Achse. Wir haben eine so genannte GeradfŸhrung.
Wir ersetzen den Streifen durch ein Quadrat der SeitenlŠnge 2 mit P als Mittelpunkt.
Quadratisches Rad
Dieses kšnnen wir nun so lange abwŠlzen, bis die rechte obere Ecke auf der Kettenlinie liegt. Dann ist . FŸr den zugehšrigen t-Wert ergibt sich wegen :
An dieser Stelle setzen wir nun einen weiteren Kettelinienbogen an. Bei der nŠchsten Quadratecke verfahren wir wieder so. Damit erhalten wir eine Girlande von Kettenlinienbšgen. Wenn wir schlie§lich noch an der horizontalen Achse spiegeln, ergibt sich eine Trasse, auf welchem das quadratische Rad všllig horizontal abrollen kann.
Trasse fŸr das quadratische Rad
Nach vier Umdrehungen ist das Rad wieder in gleicher Lage, weil der volle Umfang 8 abgewŠlzt worden ist. Damit ergibt sich die PeriodenlŠnge p:
Analog scheint es fŸr ein gleichseitiges Dreieck mit Innenkreisradius 1 zu funktionieren. Die halbe SeitenlŠnge ist dann . Wir erhalten
und die PeriodenlŠnge p:
Die Trasse sieht so aus:
Trasse fŸr dreieckiges Rad?
Das funktioniert jetzt allerdings leider nicht. Eine Dreiecksecke nŠhert sich orthogonal der Trasse und hebt auch wieder orthogonal zur Trasse ab. In der Trasse habe wir aber dort einen Winkel von nur 60¡, so dass das Dreieck einhakt. Das folgende Bild zeigt die Situation stark vergrš§ert.
Dreieck hakt ein
Allgemein geht es aber fŸr ein regelmŠ§iges n-Eck mit und Innenkreisradius 1.
RegelmŠ§iges FŸnfeck
Die halbe SeitenlŠnge dann . Weiter ist und fŸr die PeriodenlŠnge p ergibt sich .
FŸr wird das Rad rund und die PeriodenlŠnge . Es gilt daher:
Schauen wir das einmal an:
n |
n*arcsinh(tan(PI/n)) |
3 |
3.9508736908 |
4 |
3.5254943481 |
5 |
3.3713773881 |
6 |
3.2958368660 |
7 |
3.2526986741 |
8 |
3.2255977533 |
9 |
3.2074065425 |
10 |
3.1945825948 |
100 |
3.1421095524 |
1000 |
3.1415978213 |
10000 |
3.1415927053 |
100000 |
3.1415926541 |
Umwerfend ist das allerdings nicht. FŸr wird klein und beide beteiligten Funktionen kšnnen liniearisiert werden. Dann kŸrzt sich das n heraus und es bleibt Ÿbrig.