Hans Walser, [20170826]
Quadratunterteilung
1 GleichmŠ§ig wachsende SeitenlŠngen
Wir beginnen mit einer diagonal angeordneten Folge von Quadraten mit den SeitenlŠngen 1, 2, ... , 10. (Abb. 1).
Abb. 1: Quadratfolge
Wir ergŠnzen die Figur zu einem gro§en Quadrat (Abb. 2). So entsteht ein Rechtecksraster.
Abb. 2: Rechtecksraster
Zwischenbemerkung: In der Tabelle 1 sind die FlŠcheninhalte der Rechtecke in gleicher Anordnung wie in der Abbildung 2 eingetragen. Das haben wir schon einmal gesehen.
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10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
100 |
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9 |
18 |
27 |
36 |
45 |
54 |
63 |
72 |
81 |
90 |
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8 |
16 |
24 |
32 |
40 |
48 |
56 |
64 |
72 |
80 |
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7 |
14 |
21 |
28 |
35 |
42 |
49 |
56 |
63 |
70 |
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6 |
12 |
18 |
24 |
30 |
36 |
42 |
48 |
54 |
60 |
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5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
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4 |
8 |
12 |
16 |
20 |
24 |
28 |
32 |
36 |
40 |
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3 |
6 |
9 |
12 |
15 |
18 |
21 |
24 |
27 |
30 |
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2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
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1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Tab. 1: FlŠcheninhalte
In der Abbildung 3 ist eine Art ăDiagonaleŇ von links oben nach rechts unten eingetragen. Was fźr eine Kurve ist das?
Abb. 3: Diagonale
Wir arbeiten zunŠchst im x,y-Koordinatensystem mit dem Ursprung in der linken unteren Ecke des gro§en Quadrates und der SeitenlŠnge des kleinsten roten Quadrates als Einheit. In diesem Koordinatensystem hat die Kurve die implizite Gleichung:
(1)
Mit der Koordinatentransformation
(2)
erhalten wir die Parabelgleichung:
(3)
Nun unterteilen wir jedes Rechteck der Abbildung 2 in mšglichst wenige Quadrate (Abb. 4).
Abb. 4: Unterteilung in Quadrate
In der Tabelle 2 sind die Anzahlen der zur Unterteilung eines Rechtecks benštigten Quadrate eingetragen.
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5 |
6 |
4 |
2 |
4 |
6 |
5 |
10 |
1 |
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9 |
6 |
3 |
6 |
6 |
3 |
6 |
9 |
1 |
10 |
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8 |
4 |
5 |
2 |
5 |
4 |
8 |
1 |
9 |
5 |
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7 |
5 |
5 |
5 |
5 |
7 |
1 |
8 |
6 |
6 |
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6 |
3 |
2 |
3 |
6 |
1 |
7 |
4 |
3 |
4 |
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5 |
4 |
4 |
5 |
1 |
6 |
5 |
5 |
6 |
2 |
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4 |
2 |
4 |
1 |
5 |
3 |
5 |
2 |
6 |
4 |
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3 |
3 |
1 |
4 |
4 |
2 |
5 |
5 |
3 |
6 |
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2 |
1 |
3 |
2 |
4 |
3 |
5 |
4 |
6 |
5 |
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1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Tab. 2: Anzahl der benštigten Quadrate zur Unterteilung
Lesebeispiel: Zur Unterteilung eines Rechteckes der LŠnge 7 und der Hšhe 4 benštigen wir 5 Quadrate (Abb. 5).
Abb. 5: Lesebeispiel
Berechnen tun wir das so:
(4)
Dies ist zunŠchst der Euklidische Algorithmus zur Berechnung des grš§ten gemeinsamen Teilers der beiden Zahlen 7 und 4. Dieser grš§te gemeinsame Teiler ist der letzte von null verschiedene Rest, in unserem Falle 1. Uns interessiert das aber gar nicht. Wir addieren vielmehr die in (4) rot und blau angegebenen Zahlen. Diese Summe ist die Anzahl der benštigten Quadrate zur Unterteilung des Rechteckes der LŠnge 7 und der Hšhe 4. Der Zusammenhang mit der Abbildung 5 ist offensichtlich.
Die allgemeine Prozedur fźr ein Rechteck der LŠng m und der Hšhe n sieht so aus:
AnzahlQuadrate:=proc(m,n)
local s,q,r,a,b,k:
s:=0:
q:=0:
r:=1:
a:=m:
b:=n:
for k from 0 while r > 0 do
q:=floor(a/b):
s:=s+q:
r:= a mod b:
a:=b:
b:=r:
end:
return s:
end:
Die Abbildung 6 gibt ein Histogramm fźr die Tabelle 2.
Abb. 6: Histogramm
Ein Zahlendreieck: Wir schreiben die obere linke HŠlfte der Tabelle in einer anderen Anordnung und ergŠnzen am linken Rand mit Einsen (Tab. 3).
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1 |
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1 |
1 |
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1 |
2 |
1 |
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1 |
3 |
3 |
1 |
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1 |
4 |
2 |
4 |
1 |
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1 |
5 |
4 |
4 |
5 |
1 |
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1 |
6 |
3 |
2 |
3 |
6 |
1 |
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1 |
7 |
5 |
5 |
5 |
5 |
7 |
1 |
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1 |
8 |
4 |
5 |
2 |
5 |
4 |
8 |
1 |
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1 |
9 |
6 |
3 |
6 |
6 |
3 |
6 |
9 |
1 |
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1 |
10 |
5 |
6 |
4 |
2 |
4 |
6 |
5 |
10 |
1 |
Tab. 3: Zahlendreieck
Es handelt sich hier um das Zahlendreieck A110570.
2 Fibonacci-Quadrate
Die Startquadrate haben die Fibonacci-Zahlen als SeitenlŠngen (Abb. 7).
Abb. 7: Fibonacci-Quadrate
Die Fibonacci-Rekursion kann geometrisch gezeigt werden (Abb. 8).
Abb. 8: Fibonacci-Rekursion
Wir ergŠnzen die Abbildung 7 zum Rechtecksraster (Abb. 9).
Abb. 9: Rechtecksraster
Die Tabelle 4 gibt die FlŠcheninhalte der einzelnen Rechtecke.
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21 |
21 |
42 |
63 |
105 |
168 |
273 |
441 |
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13 |
13 |
26 |
39 |
65 |
104 |
169 |
273 |
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8 |
8 |
16 |
24 |
40 |
64 |
104 |
168 |
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5 |
5 |
10 |
15 |
25 |
40 |
65 |
105 |
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3 |
3 |
6 |
9 |
15 |
24 |
39 |
63 |
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2 |
2 |
4 |
6 |
10 |
16 |
26 |
42 |
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1 |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
13 |
21 |
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1 |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
13 |
21 |
Tab. 4: FlŠcheninhalte
In der Abbildung 10 sind die Rechtecke in Quadrate zerlegt.
Abb. 10: Zerlegung in Quadrate
Die Tabelle 5 gibt die Anzahlen der fźr die Zerlegung der einzelnen Rechtecke benštigten Quadrate.
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21 |
21 |
12 |
7 |
9 |
7 |
7 |
1 |
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13 |
13 |
8 |
7 |
6 |
6 |
1 |
7 |
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8 |
8 |
4 |
5 |
5 |
1 |
6 |
7 |
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5 |
5 |
4 |
4 |
1 |
5 |
6 |
9 |
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3 |
3 |
3 |
1 |
4 |
5 |
7 |
7 |
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2 |
2 |
1 |
3 |
4 |
4 |
8 |
12 |
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1 |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
13 |
21 |
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1 |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
13 |
21 |
Tab. 5: Anzahl der benštigten Quadrate zur Unterteilung
Websites
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences¨ (OEIS¨) (abgerufen 26.08.2017):