Hans Walser, [20100215a]
Radlinien
1 Worum es geht
Wir rollen auf dem
Einheitskreis einen anderen Kreis ab und verfolgen die Bahn eines Punktes auf
der Peripherie des abrollenden Kreises.
Es werden KurvenlŠnge
und FlŠcheninhalt der Radlinien berechnet.
2
Radlinie au§en
2.1
Parameterdarstellung
Der abrollende Kreis habe
den Radius 
und rolle au§en
auf dem Einheitskreis ab. Diese Radlinie kann beschrieben werden durch:
Der Mittelpunkt des abrollenden
Kreises dreht auf einem Kreis mit Radius 
im positiven
Drehsinn, der abrollende Kreis mit Radius 
dreht sich ebenfalls
im positiven Drehsinn, und zwar 
Mal pro Umlauf. Das
kennen wir aus der Astronomie: Die Erde dreht sich bei einem Umlauf um die
Sonne gegenŸber den Fixsternen ein Mal mehr als gegenŸber der Sonne. Daher sind
die Sternentage kŸrzer als die Sonnentage.
Die Abbildung zeigt die
Radlinie fŸr 
.
Radlinie au§en fŸr n = 5
Die Radlinie hat n einwŠrts gerichtete Spitzen.
2.2
LŠngenberechnung
Aus der
Parameterdarstellung erhalten wir mit einiger Rechnung:
FŸr die KurvenlŠnge 
rechnen wir n Mal die LŠnge eines Bogens:
Bemerkenswert ist, dass
diese KurvenlŠnge rational ist, obwohl die Kurve auf Kreisen und
Kreisbewegungen basiert. Dieses Beispiel hatte frŸher die Hoffnung genŠhrt,
dass die Kreiszahl ¹ vielleicht rational sein kšnnte. Erst Johann Heinreich
Lambert (1728-1777) konnte 1768 beweisen, dass die Kreiszahl ¹ irrational ist.
2.2.1
Ein Irrtum
Offensichtlich ist 
. Andererseits nŠhert sich die Radlinie fŸr 
dem
Einheitskreis. Die Abbildung zeigt die Radlinie fŸr 
.
Radlinie mit 100 Spitzen
Daraus kšnnte der
falsche Schluss gezogen werden, der Einheitskreis habe den Umfang 8. Warum ist
dieser Schluss falsch?
2.3
FlŠchenbrechung
Wie gro§ ist der
FlŠcheninhalt?
Aus
ergibt sich:
Wegen
erhalten wir:
Der FlŠcheninhalt ist
ein rationales Vielfaches von ¹. Es ist:
Warum ist der Schluss,
der Einheitskreis habe den FlŠcheninhalt ¹, nun richtig?
Fast der Einheitskreis
3
Radlinie innen
Der abrollende Kreis
habe wieder den Radius 
und rolle nun
innen auf dem Einheitskreis ab. Diese Radlinie kann beschrieben werden durch:
Der Mittelpunkt des
abrollenden Kreises dreht auf einem Kreis mit Radius 
im positiven
Drehsinn, der abrollende Kreis mit Radius 
dreht sich nun
im negativen Drehsinn, und zwar 
Mal pro Umlauf.
Die Abbildung zeigt die Radlinie fŸr 
. Die Spitzen sind nun nach au§en gerichtet.
Radlinie innen fŸr n = 5
Mit analogen Rechnungen
finden wir fŸr die KurvenlŠnge 
und den
FlŠcheninhalt 
:
4
Rationaler Kreisradius
Wir ersetzen n durch den gekŸrzten Bruch 
. Nun mŸssen wir mit q UmlŠufen arbeiten, bis sich die Kurve schlie§t.
4.1
Abrollen au§en
Die Abbildung zeigt die
Radlinie fŸr 
Blumenmuster
FŸr KurvenlŠnge 
und
FlŠcheninhalt 
gilt:
Bei der FlŠchenformel
ist zu beachten, dass wir bis zu q-fache
†berlappungen haben. Meine Software fŠrbt paritŠtisch nach Anzahl der
†berlappungen. Bei einer geraden Anzahl von †berlappungen wird nicht gefŠrbt.
FŸr 
sieht das so
aus:
FŠrbung
FŸr 
sieht das so
aus:
FŠrbung
FŸr 
sieht das so
aus:
FŠrbung
4.1.1
Sonderfall: p = 1
Wenn wir 
setzen, hei§t
das, dass wir auf dem Einheitskreis au§en einen Kreis vom Radius q abrollen.
Die Abbildung zeigt den
Fall fŸr 
.
Kreis mit Radius 3 wird
abgerollt
4.2
Abrollen innen
Wenn wir innen
abrollen, ergeben sich wieder Spitzen.
4.2.1
Radius < 1
Damit der Kreis
wirklich im Innern abrollen kann, muss sein Radius kleiner als 1 sein. Daher
muss 
gelten.
Die Abbildung zeigt den
Fall 
.
Sternfigur
4.2.2
Radius > 1
Wenn der Radius des
ãabrollendenÒ Kreises aber grš§er als eins ist, haben wir ein ãAbwŠlzenÒ und
die Kurve verlŠuft im €u§eren des Einheitskreises. FŸr 
etwa erhalten
wir:
AbwŠlzen
Das entspricht der
Figur, die beim Šu§eren Abrollen mit 
entsteht. Der
Hintergrund ist folgender: Unsere Figuren entstehen durch †berlagerung zweier
Kreisbewegungen. FormelmŠ§ig geschieht das durch eine Addition. Wegen der
KommutativitŠt der Addition ist es aber willkŸrlich, welchen Kreis wir als
ãerstenÒ und welchen als ãzweitenÒ Kreis wŠhlen.