Hans Walser, [20190120]

Raster-Rechtecke

Anregung: B. W., K.

1   Worum geht es

Im Quadratraster werden ein rotes und ein blaues  so ausgelegt dass sie mindestens ein Rasterquadrat gemeinsam haben.

Wie viele Mšglichkeiten gibt es, wenn Position und Ausrichtung keine Rolle spielen?

Die Bearbeitung ist eine Orgie in Fallunterscheidungen und induktivem Denken.

2   Fallunterscheidungen

2.1  ãEchteÒ Rechtecke

Die beiden Zahlen a und b sind ungleich. Wir nehmen a > b an. Die †berlegungen gelten aber auch fŸr a < b.

2.1.1 Gleiche ParitŠt

Es ist mod(ab , 2) = 0.

2.1.1.1         Beide Rechtecke im Querformat

Die Abbildung 1 zeigt eine Auslegeordnung fŸr den einfachsten Fall a = 3 und b = 1. Au§er dem mittleren Beispiel erscheint jedes Beispiel doppelt.

Abb. 1: a = 3, b =1

Die Abbildung 2 zeigt die Situation fŸr den Fall a = 4 und b = 2.

Abb.2: a = 4, b = 2

Wir haben jeweils eine rechteckige Anordnung mit den Dimensionen 2a – 1 und 2b – 1, beides ungerade Zahlen. Dies gilt auch, wenn wir a  oder b  je um eine gerade Zahl erhšhen. Punktsymmetrisch liegende Beispiele sind gleich. Das mittlere Beispiel kommt nur einmal vor. FŸr die Gesamtzahl # erhalten wir daher:

 

                                                                                         (1)

 

 

 

2.1.1.2         Querformat und Hochformat

Die Abbildung 3 zeigt eine Auslegeordnung fŸr den einfachsten Fall a = 3 und b = 1. Au§er dem mittleren Beispiel erscheint jedes Beispiel doppelt.

Abb. 3: Einfachster Fall

Die Abbildung 4 zeigt eine Auslegeordnung fŸr den Fall a = 4 und b = 2. Au§er dem mittleren Beispiel erscheint jedes Beispiel doppelt.

Abb.4: a = 4, b = 2

Wir haben jeweils eine quadratische Anordnung der SeitenlŠng a + b – 1, eine ungerade Zahl. Die Situation bleibt sich gleich, wenn wir a  und b  je um eine gerade Zahl erhšhen. Punktsymmetrisch liegende Beispiele sind gleich. Das mittlere Beispiel kommt nur einmal vor. FŸr die Gesamtzahl # erhalten wir daher:

 

                                                                                                 (2)

 

 

 

Bei gleicher ParitŠt von a und b erhalten wir also aus (1) und (2) insgesamt:

 

          (3)

 

 

 

2.1.2 Ungleiche ParitŠt

Es ist mod(ab , 2) = 1.

2.1.2.1         Beide Rechtecke im Querformat

Die Abbildung 5 zeigt den einfachsten Fall a = 2 und b = 1.

Abb. 5: a = 2, b = 1

 

Die Abbildung 6 zeigt den Fall a = 3 und b = 2.

Abb. 6: a = 3, b = 2

Wir haben jeweils eine rechteckige Anordnung mit den Dimensionen 2a – 1 und 2b – 1, beides ungerade Zahlen. Das bleibt auch so, wenn wir a  und b  je um eine gerade Zahl erhšhen. Punktsymmetrisch liegende Beispiele sind gleich. Das mittlere Beispiel kommt nur einmal vor. FŸr die Gesamtzahl # erhalten wir daher:

 

                                                                                         (4)

 

 

 

2.1.2.2         Querformat und Hochformat

Die Abbildung 7 zeigt eine Auslegeordnung fŸr den Fall a = 2 und b = 1. Jedes Beispiel erscheint doppelt.

Abb. 7: a = 2, b = 1

Die Abbildung 8 zeigt eine Auslegeordnung fŸr den Fall a = 3 und b = 2. Jedes Beispiel erscheint doppelt.

Abb. 8: a = 3, b = 2

Wir haben jeweils eine quadratische Anordnung der SeitenlŠng a + b – 1. Das ist nun eine gerade Zahl. Dies gilt auch, wenn wir a und b je um ein Vielfaches von 2 erhšhen. Punktsymmetrisch liegende Beispiele sind gleich. FŸr die Gesamtzahl # erhalten wir daher:

 

                                                                                                        (5)

 

 

 

Bei ungleicher ParitŠt von a und b erhalten also wir aus (4) und (5) insgesamt:

 

 

                                                                     (6)

 

2.2  Quadrate

Es ist a = b. FŸr a = 1 ergibt sich nur eine Lšsung. Die Abbildung 9 zeigt die Situation fŸr a = 2. Au§er dem mittleren Beispiel erscheint jedes Beispiel viermal.

Abb. 9: a = 2

Die Abbildung 10 zeigt die Situation fŸr a = 3.

Abb.10: a = 3

Wir erhalten jeweils eine quadratische Anordnung der SeitenlŠnge 2a – 1. Dies ist eine ungerade Zahl. Au§er dem mittleren Beispiel kommt jedes Beispiel viermal vor. FŸr die Gesamtzahl # ergibt sich daher:

 

                                                                                                     (7)

 

 

 

3   Die Prozedur

Allgemein gilt folgende Prozedur (Abb. 11, Programmiersprache Maple):

Abb.11: Prozedur

Die Tabelle 1 gibt die ersten Beispiele. Die EinschrŠnkung a > b  wird fallengelassen. Die Tabelle ist symmetrisch.

 

a\b

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

1

4

8

12

18

24

32

40

50

60

2

4

3

16

24

32

42

52

64

76

90

3

8

16

7

36

48

60

74

88

104

120

4

12

24

36

13

64

80

96

114

132

152

5

18

32

48

64

21

100

120

140

162

184

6

24

42

60

80

100

31

144

168

192

218

7

32

52

74

96

120

144

43

196

224

252

8

40

64

88

114

140

168

196

57

256

288

9

50

76

104

132

162

192

224

256

73

324

10

60

90

120

152

184

218

252

288

324

91

Tab. 1: Erste Beispiele

4   Zahlenspielereien

Wir diskutieren einige Eigenschaften der Tabelle 1 (ohne Beweise).

á            In der Hauptdiagonale von links oben nach rechts unten sind ausschlie§lich ungerade Zahlen. Diese bilden eine arithmetische Folge zweiten Grades.

á            Alle Ÿbrigen Zahlen sind gerade.

á            Die Zahlen in einer zur Hauptdiagonalen parallelen Nebendiagonale bilden eine arithmetische Folge zweiten Grades. 

á            In der ersten Nebendiagonale sind die Quadrate der geraden Zahlen, also 4, 16, 36, 64, ... .

á            Die Zahlen in der zweiten Nebendiagonale (also 8, 24, 48, 80, ... ) sind jeweils das geometrische Mittel der benachbarten Quadratzahlen der ersten Nebendiagonale.

á            Die Zahlen in der dritten Nebendiagonale (also 12, 32, 60, 96, ... ) lassen sich so berechnen: das Produkt der beiden Nachbarzahlen in der zweiten Nebendiagonale wird dividiert durch die Ÿber Eck benachbarte Quadratzahl der ersten Nebendiagonale. Beispiel: 140 = 120*168/144.