Hans Walser, [20220111]

Rationale Kreispunkte

1     Worum geht es?

Punkte im ersten Quadranten des Einheitskreises mit rationalen Koordinaten.

2     Pythagoreische Dreiecke

Mit der üblichen Parametrisierung werden die pythagoreischen Dreiecke generiert und die Hypotenuse auf eins normiert. Die Abbildung 1 zeigt die beiden ersten Beispiele. Es handelt sich um das ägyptische Dreieck mit dem Seitenverhältnis 3:4:5 und das indische Dreieck mit dem Seitenverhältnis 5:12:13.

Abb. 1: Pythagoreische Dreiecke

Die Abbildung 2 zeigt in Folge die ersten 86 Beispiele.

Abb. 2: Die ersten 86 Beispiele

3     Koordinaten

Die Tabelle 1 gibt die rationalen Koordinaten der ersten 86 Punkte.

 

n

Koordinaten

 

n

Koordinaten

 

n

Koordinaten

1

[3/5, 4/5]

 

31

[23/265, 264/265]

 

61

[145/433, 408/433]

2

[5/13, 12/13]

 

32

[165/173, 52/173]

 

62

[93/485, 476/485]

3

[15/17, 8/17]

 

33

[153/185, 104/185]

 

63

[33/545, 544/545]

4

[7/25, 24/25]

 

34

[133/205, 156/205]

 

64

[323/325, 36/325]

5

[21/29, 20/29]

 

35

[105/233, 208/233]

 

65

[299/349, 180/349]

6

[9/41, 40/41]

 

36

[69/269, 260/269]

 

66

[275/373, 252/373]

7

[35/37, 12/37]

 

37

[25/313, 312/313]

 

67

[203/445, 396/445]

8

[11/61, 60/61]

 

38

[195/197, 28/197]

 

68

[155/493, 468/493]

9

[45/53, 28/53]

 

39

[187/205, 84/205]

 

69

[35/613, 612/613]

10

[33/65, 56/65]

 

40

[171/221, 140/221]

 

70

[357/365, 76/365]

11

[13/85, 84/85]

 

41

[115/277, 252/277]

 

71

[345/377, 152/377]

12

[63/65, 16/65]

 

42

[75/317, 308/317]

 

72

[325/397, 228/397]

13

[55/73, 48/73]

 

43

[27/365, 364/365]

 

73

[297/425, 304/425]

14

[39/89, 80/89]

 

44

[221/229, 60/229]

 

74

[261/461, 380/461]

15

[15/113, 112/113]

 

45

[209/241, 120/241]

 

75

[217/505, 456/505]

16

[77/85, 36/85]

 

46

[161/289, 240/289]

 

76

[165/557, 532/557]

17

[65/97, 72/97]

 

47

[29/421, 420/421]

 

77

[105/617, 608/617]

18

[17/145, 144/145]

 

48

[255/257, 32/257]

 

78

[37/685, 684/685]

19

[99/101, 20/101]

 

49

[247/265, 96/265]

 

79

[399/401, 40/401]

20

[91/109, 60/109]

 

50

[231/281, 160/281]

 

80

[391/409, 120/409]

21

[51/149, 140/149]

 

51

[207/305, 224/305]

 

81

[351/449, 280/449]

22

[19/181, 180/181]

 

52

[175/337, 288/337]

 

82

[319/481, 360/481]

23

[117/125, 44/125]

 

53

[135/377, 352/377]

 

83

[279/521, 440/521]

24

[105/137, 88/137]

 

54

[87/425, 416/425]

 

84

[231/569, 520/569]

25

[85/157, 132/157]

 

55

[31/481, 480/481]

 

85

[111/689, 680/689]

26

[57/185, 176/185]

 

56

[285/293, 68/293]

 

86

[39/761, 760/761]

27

[21/221, 220/221]

 

57

[273/305, 136/305]

 

 

 

28

[143/145, 24/145]

 

58

[253/325, 204/325]

 

 

 

29

[119/169, 120/169]

 

59

[225/353, 272/353]

 

 

 

30

[95/193, 168/193]

 

60

[189/389, 340/389]

 

 

 

 

Tab. 1: Rationale Koordinaten

4     Rationale Kreispunkte

Die Punkte fallen wie Sternschnuppen ein (Abb. 3).

 

Abb. 3: Die ersten 86 Punkte