Hans Walser, [20190210]
Rationaler Kosinus
Wir
arbeiten mit einem Winkel mit einem
rationalen Kosinus-Wert:
(1)
Dann hat auch jedes ganzzahlige Vielfache dieses Winkels einen rationalen Kosinus-Wert:
(2)
Fźr den Beweis benštigen wir die Formeln von de Moivre, die wir kurz herleiten. Aus der Formel von Euler
(3)
folgt durch Expandieren:
(4)
Trennung in Real- und ImaginŠrteil liefert die Formeln von de Moivre:
(5)
Weiter ist
(6)
rational. Die Sinuswerte selber sind in der Regel nicht rational (ausgenommen im Kontext mit pythagoreischen Dreiecken).
In der
Formel (5) fźr kommen die
Sinuswerte nur mit geraden Exponenten vor. Daher ist
rational.
Wir haben
jetzt allerdings nur bewiesen, dass rational
ist (Existenzbeweis), kšnnen diese rationale Zahl aber nicht mit ZŠhler und
Nenner darstellen. Dazu dienen die weiteren †berlegungen.
Wir verwenden folgende Bezeichnungen:
(7)
Es sei und
(Abb. 1).
Abb. 1: Beispiel
Damit ist:
(8)
In der
Tabelle 1 ist in der letzten Spalte der Kosinus der Vielfachen des Winkels angegeben.
In der zweiten und dritten Spalte sind ganze Zahlen angegeben, deren Quotient
(vierte Spalte) mit dem Kosinuswert des Vielfachen des Winkels
(numerisch) źbereinstimmt. Abweichungen
ergeben sich erst in den hinteren Dezimalstellen und dźrften rundungsbedingt
sein.
n |
|
|
|
|
1 |
8 |
9 |
0.8888888889 |
0.8888888889 |
2 |
47 |
81 |
0.5802469136 |
0.5802469137 |
3 |
104 |
729 |
0.1426611797 |
0.1426611797 |
4 |
–2143 |
6561 |
–0.3266270386 |
–0.3266270380 |
5 |
–42712 |
59049 |
–0.7233314705 |
–0.7233314703 |
6 |
–509809 |
531441 |
–0.9592955756 |
–0.9592955756 |
7 |
–4697272 |
4782969 |
–0.9820828862 |
–0.9820828863 |
8 |
–33861823 |
43046721 |
–0.7866295554 |
–0.7866295555 |
9 |
–161310136 |
387420489 |
–0.4163696567 |
–0.4163696575 |
10 |
161845487 |
3486784401 |
0.0464168324 |
0.0464168318 |
11 |
15655648808 |
31381059609 |
0.4988884698 |
0.4988884695 |
12 |
237380896481 |
282429536481 |
0.8404960028 |
0.8404960023 |
Tab. 1: Beispiel
In der dritten Spalte ist offensichtlich:
(9)
Die Zahlen in der zweiten Spalte genźgen der Rekursion:
(10)
Dies ist nicht offensichtlich und muss begrźndet werden.
Wir gehen
aus von der Situation und den Bezeichnungen der Formel (1) (Abb. 2). Gegeben
sind also und
.
Abb. 2: Allgemeine Startsituation
Es ist:
(11)
Weiter sei:
(12)
Die Werte
seien
definiert durch die Startwerte
und das
gegebene
sowie
durch die Rekursion:
(13)
Wir wollen zeigen:
(14)
Dazu erarbeiten wir die verallgemeinerte Formel von Binet fźr die durch (13) mit den zugehšrigen Startwerten gegebene Folge.
Diese Formel von Binet hat die allgemeine Form:
(15)
Dabei
sind und
die
Lšsungen der sich aus (13) ergebenden quadratischen Gleichung
(16)
wŠhrend sich die Koeffizienten r und s aus den Startwerten ergeben. Die Gleichung (16) hat die beiden Lšsungen:
(17)
Wegen ist der
Radikand in (17) negativ und wir haben die beiden konjugiert komplexen
Lšsungen:
(18)
Wenn wir
in (15) setzen,
kšnnen wir mit (18) verifizieren, dass die Startwerte der Folge erfźllt sind.
Wegen (11) kšnnen wir die Lšsungen (18) der quadratischen Gleichung (16) schreiben in der Form:
(19)
Somit erhalten wir aus (12), (15) und (19) fźr die Formel von Binet:
(20)
Daraus ergibt sich (14). Dies war zu zeigen.
Wir kšnnen das Dreieck der Abbildung 1 zu einem gleichschenkligen Dreieck mit dem rationalen SeitenverhŠltnis 9:9:16 ergŠnzen (Abb. 3).
Abb. 3: Gleichschenkliges Dreieck mit rationalem SeitenverhŠltnis
Wenn wir nun die Basiswinkel verdoppeln, erhalten wir ein gleichschenkliges Dreieck mit dem ebenfalls rationalen SeitenverhŠltnis 81:81:94 (Tab. 1, Abb. 4).
Abb. 4: Doppelte Basiswinkel
Wie sieht die Situation bei einer Verdreifachung, Vervierfachung, ... der Basiswinkel aus?
Weblinks
Hans Walser: Rationale SeitenverhŠltnisse
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/R/Rationale_Seitenverhaeltnisse/Rationale_Seitenverhaeltnisse.htm