Hans Walser, [20201215]

Rechtecke im Dodekaeder

1 Worum geht es?

Ins reguläre Dodekaeder lassen sich zwei verschiedene Rechtecke einpassen welche beide den Dodekaeder-Mittelpunkt als Mittelpunkt haben.

Bildergalerie.

2 Die beiden Rechtecke in der Ebene

Wir beginnen mit sechs gleich breiten Streifen und einem eingepassten Kreis (Abb. 1). Sein Radius ist das Dreifache der Streifenbreite.

Abb. 1: Streifen und Kreis

Nun passen wir zwei Rechtecke ein (Abb. 2).

Abb. 2: Die beiden Rechtecke

Das schmale hellblaue Rechteck (Abb. 2a) hat das Seitenverhältnis . Dabei ist der sogenannte Goldene Schnitt (Walser 2013a).

Das gelbe Rechteck (Abb. 2b) hat das Seitenverhältnis . Es ist ein sogenanntes DIN-Rechteck (Walser 2013b).

3 Im Dodekaeder

Diese beiden Rechtecke lassen sich ins reguläre Dodekaeder einpassen.

3.1 Das schmale Rechteck

Die Abbildung 3 zeigt drei paarweise orthogonale schmale Rechtecke im Dodekaeder.

Abb. 3: Schmale Rechtecke

Es gibt insgesamt 15 Möglichkeiten, ein schmales Rechteck ins reguläre Dodekaeder einzupassen (Abb. 4). Die Ebenen dieser Rechtecke sind Symmetrieebenen des Dodekaeders.

Abb. 4: Die 15 schmalen Rechtecke

Die Abbildung 5 zeigt die Figur in 5 verschiedenen Farben. Die jeweils drei paarweise orthogonalen Rechtecke haben dieselbe Farbe.

Abb. 5: Fünf Farben

In der Abbildung 6 ist das schmale Rechteck reduziert auf die Dreiecke in den spitzen Winkelfeldern der Diagonalen.

Abb. 6: X

Die Abbildungen 7 und 8 zeigen alle 15 Rechtecke in dieser modifizierten Form. Die Figur ist aus zwölf Pyramiden zusammengesetzt.

Abb. 7: Zwölf Pyramiden

Abb. 8: Zwölf bunte Pyramiden

Eine Bemerkung zur Kombinatorik: Wir haben bei jeder Pyramide eine andere zyklische Anordnung der fünf Farben, also insgesamt zwölf. Für fünf Farben gibt es an sich zyklische Anordnungen. In unserem Modell sind ausgehend von einer Basis-Anordnung, genau die zwölf geraden Permutationen realisiert.

Zu jeder Dodekaederkante gibt es ein gleichschenkliges Dreieck mit der Spitze im Dodekaeder-Mittelpunkt. Die Figur der Abbildung 8 kann daher auch als Kantenmodell des Dodekaeders gesehen werden.

3.2 Das DIN-Rechteck

Die Abbildung 9 zeigt zwei orthogonale DIN-Rechtecke im Dodekaeder. Die Ebene eines solchen DIN-Rechteckes ist keine Symmetrieebene des Dodekaeders.

Abb. 9: Zwei DIN-Rechtecke

In der Abbildung 10 sind es sechs DIN-Rechtecke. Es sind die Diagonalebenen eines Würfels.

Abb. 10: Diagonalebenen eines Würfels

Insgesamt gibt es 30 DIN-Rechtecke im Dodekaeder (Abb. 11).

Abb. 11: 30 DIN-Rechtecke

In der Abbildung 12 ist für jeden der fünf möglichen Würfel eine andere Farbe gewählt.

Abb. 12: Fünf Farben

Wir können die DIN-Rechtecke mit den Diagonalen zuschneiden (Abb. 13).

Abb. 13: X

Abb. 14: X. Fünf Farben

3.3 Überlagerungen

Die Abbildung 15 zeigt die Überlagerung der Abbildungen 7 und 13.

Abb. 15: Monochrome Überlagerung

Die Abbildung 16 zeigt die Überlagerung der Abbildungen 8 und 14.

Abb. 16: Fünf Farben

Website

Hans Walser: Streifen, DIN-Rechteck und Goldenes Rechteck

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Streifen/Streifen.htm

Literatur

Walser, Hans (2013a): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wußing über populärwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.

Walser, Hans (2013b): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-69-1.