Hans Walser, [20240926]

Rechtecksunterteilung

Anregungen: Hartmut Rehlich, Braunschweig, Bodo von Pape, Oldenburg          

1     Worum es geht

Gesucht ist ein Rechteck, das sich in eine endliche Anzahl von zueinander und zum Ausgangsrechteck ähnlicher Rechtecke unterteilen lässt, wobei keine zwei dieser Rechtecke kongruent sind.

2     Gegenbeispiele

(1)  Ein Rechteck im Format DIN-A4 lässt sich ein zwei dazu ähnliche Rechtecke im Format DIN-A5 unterteilen. Die beiden Rechtecke im Format DIN-A5 sind aber kongruent.

(2)  Wir unterteilen ein Rechteck im Format DIN-A4 zunächst in zwei Rechteck im Format DIN-A5. Eines davon unterteilen wir weiter in zwei Rechtecke DIN-A6. Wiederum eines davon unterteilen wir in zwei Rechtecke DIN-A7. Und so weiter. Dann haben wir zwar lauter verschiedene Rechtecke, aber eine unendliche Folge.

3     Eine Lösung

3.1     Lösungsansatz

Wir konstruieren eine Lösung mit drei Teilrechtecken gemäß der Skizze der Abbildung 1. Das Gesamtrechteck ist im Hochformat, ebenso das rote Teilrechteck. Das grüne und das gelbe Teilrechteck sind im Querformat.

Abb. 1: Lösungsskizze

Für die Lösung nehmen wir das Seitenverhältnis 1: λ, λ > 1, an. Damit ergeben sich die Bemaßungen der Abbildung 2. Wir setzen die Schmalseite des roten Teilrechteckes 1. Damit wird dessen Langseite λ. Dies ist auch die Schmalseite des grünen Teilrechtecks, das damit die Langseite λ2 hat.

Das Gesamtrechteck hat somit die Schmalseite 1 + λ2 und die Langseite λ (1 + λ2).

Das gelbe Teilrechteck hat die Langseite 1 + λ2.

Für die Schmalseite des gelben Teilrechtecks ergibt sich durch Differenzbildung λ (1 + λ2) – λ = λ3. Die Langseite des gelben Teilrechtecks kann somit auch durch λ λ3 = λ4 angegeben werden.

Abb. 2: Bemaßung

Aus den beiden Angaben für die Langseite des gelben Teilrechteckes ergibt sich die Bedingung:

 

            1 + λ2 = λ4

 

Diese biquadratische Gleichung hat für λ2 die positive Lösung:

 

            λ2 = (1 + √5)/2

 

3.2     Der Goldene Schnitt

Der Ausdruck (1 + √5)/2 wird als Goldener Schnitt mit Φ bezeichnet:

 

            Φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618

 

Somit erhalten wir:

 

            λ = √Φ ≈ 1.272

 

Das gesuchte Rechteck hat also das Seitenverhältnis 1: √Φ ≈ 1: 1.272.

Randbemerkung: Die Diagonalen des gesuchten Rechteckes stehen zu den Schmalseiten im Verhältnis Φ:1, also im Verhältnis des Goldenen Schnittes.

4     Weitere Lösungen

Da alle Rechtecke ähnlich sind, können wir das kleinste Teilrechteck analog weiter unterteilen, ohne dass kongruente Rechtecke entstehen. Dies geht auf zwei Arten (Abb. 3). Wir haben nun je fünf Teilrechtecke.

Abb. 3: Weitere Unterteilung

Iteration des Verfahrens führt einerseits zu einer Treppe und andererseits zu einer Spirale(Abb. 4). Wir haben je 7 Teilrechtecke.

Abb. 4: Nächster Schritt

5     Eine geometrische Folge von Rechtecken

Die Abbildung 5 zeigt eine Folge von Rechtecken mit dem Seitenverhältnis 1:√Φ. Die Langseite eines jeden Rechtecks ist gleich der Schmalseite des nachfolgenden Rechtecks. Die Seitenlängen der Rechtecke bilden also eine geometrische Folge mit dem Quotienten √Φ. Die Flächeninhalte der Rechtecke bilden daher eine geometrische Folge mit dem Quotienten Φ.

Abb. 5: Rechteckfolge

Nach unseren Überlegungen können die Rechtecke ab dem fünften Rechteck in je drei kleinere vorangegangene Rechtecke der Abbildung 5 zerlegt werden (Abb. 6).

Abb. 6: Zerlegungen

Die Zerlegungen gehen offenbar so, dass das Rechteck mit der Nummer n aus den drei Rechtecken mit den Nummern n – 1, n – 3 und n – 4 zusammengesetzt ist. Wir haben also die Zerlegungsrekursion:

 

            Rechteckn = Rechteckn – 1 + Rechteckn – 3 + Rechteckn – 4

 

Interessant ist, dass das Rechteckn – 2 in der Zerlegung nicht erscheint.

Wenn wir die Rekursion konsequent durchziehen, erscheinen nur noch die vier ersten Rechtecke (die Startrechtecke), nun allerdings mehrfach (Abb. 7).

Abb. 7: Rekursion

6     Rekursion

Wir wenden die Rekursion auf Zahlen an:

 

            an = an – 1 + an – 3 + an – 4

 

Mit den vier Startwerten a1 = 1, a2 = 1, a3 = 1, a3 = 1 ergibt sich die verallgemeinerte Fibonacci-Folge (Tab. 1).  

 

n

an

an/ an + 1

an/ an + 1

 

 

n

an

an/ an + 1

an/ an + 1

1

1

1

 1.

 

 

16

545

883/545

 1.620183486

2

1

1

 1.

 

 

17

883

1429/883

 1.618346546

3

1

1

 1.

 

 

18

1429

2311/1429

 1.617214836

4

1

3

 3.

 

 

19

2311

3739/2311

 1.617914323

5

3

5/3

 1.666666667

 

 

20

3739

6051/3739

 1.618347152

6

5

7/5

 1.400000000

 

 

21

6051

9791/6051

 1.618079656

7

7

11/7

 1.571428571

 

 

22

9791

15841/9791

 1.617914411

8

11

19/11

 1.727272727

 

 

23

15841

25631/15841

 1.618016539

9

19

31/19

 1.631578947

 

 

24

25631

41473/25631

 1.618079669

10

31

49/31

 1.580645161

 

 

25

41473

67105/41473

 1.618040653

11

49

79/49

 1.612244898

 

 

26

67105

108577/67105

 1.618016541

12

79

129/79

 1.632911392

 

 

27

108577

175681/108577

 1.618031443

13

129

209/129

 1.620155039

 

 

28

175681

284259/175681

 1.618040653

14

209

337/209

 1.612440191

 

 

29

284259

459941/284259

 1.618034961

15

337

545/337

 1.617210682

 

 

30

459941

744199/459941

 1.618031443

 

Tab. 1: Zahlenfolge und Quotientenfolge

Die Quotientenfolge strebt gegen den Goldenen Schnitt.

7     Zusammensetzung von Rechtecken

7.1     Zickzack

Wir können die Rechtecke der Abbildung 5 im Zickzack zu einer Treppe zusammenfügen (Abb. 8).

Abb. 8: Zickzack

Mit den Rechteckzusammensetzungen der Abbildung 6 ergibt sich die Treppe der Abbildung 9.

Abb. 9: Treppe, Mischversion

Mit den Rechteckzusammensetzungen der Abbildung 7 ergibt sich die Treppe der Abbildung 10. Es erscheinen nur noch die vier ersten Rechtecke.

Abb. 10: Treppe mit vier Rechtecken

7.2     Spiralförmig

Wir setzen je vier aufeinanderfolgende Rechtecke der Abbildung 5 spiralförmig zusammen (Abb. 11). Es entstehen zueinander ähnliche unregelmäßige Sechsecke.

Abb. 11: Spiralförmige Zusammensetzungen

Nun färben wir jeweils das gesamte Sechseck nach der Farbe des kleinsten Rechtecks (Abb. 12).

Abb. 12: Einheitliche Farbe

Wir können jedes Sechseck aus den beiden vorangehenden zusammensetzen (Abb. 13). Wir haben die gewöhnliche Fibonacci-Rekursion.

Abb. 13: Fibonacci-Rekursion

 

Weblinks

Hans Walser: Miniaturen: DIN-Format

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen_Uebersicht/DIN_Format/index.html
Hans Walser: Miniaturen: Fibonacci

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen_Uebersicht/Fibonacci/index.html

Hans Walser: Miniaturen: Goldener Schnitt

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen_Uebersicht/Goldener_Schnitt/index.html

 

Literatur

Walser, Hans (2012): Fibonacci. Zahlen und Figuren. Leipzig, EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-60-8.

Walser, Hans (2013b): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-69-1.

Walser, Hans (2024): Der Goldene Schnitt. Geometrische und zahlentheoretische Betrachtungen. 7. Auflage. Springer Spektrum.
Print-ISBN 978-3-662-68556-3. E-Book_ISBN 978-3-662-68557-0.
https://doi.org/10.1007/978-3-662-68557-0