Hans Walser, [20060415a]

Rechteckszerlegung

1        Zerlegung in Rechtecke

Die Idee ist, ein Rechteck in eine spiralfšrmige Folge von zueinander Šhnlichen Rechtecken zu zerlegen, wobei die Rechtecke dieser Folge jeweils durch eine Drehstreckung auseinander hervorgehen.

 

Beispiel

 

1.1       Berechungen

1.1.1      Teilrechteck gegeben

Wir gehen zunŠchst davon aus, dass das Format  der Teilrechtecke gegeben ist; ferner sei f der Faktor der Drehstreckung. Es ist .

 

Ma§e

 

Aus der Figur lesen wir die Beziehung ab:

 

 

 

Bei gegebenem x ist das eine quadratische Gleichung fŸr f; es interessiert nur die positive Lšsung:

 

 

Diese Funktion hat folgenden Graphen:

 

 

 

Es ist  (Goldener Schnitt) und .

1.1.2      Gesamtrechteck gegeben

Nun sei das zu zerlegende Recheck geben mit den Ma§en , .

 

Gro§es Rechteck gegeben

 

Dann ist zunŠchst:

 

 

Auflšsen nach x liefert:

 

 

 

 

 

 

Die Funktion  hat den Graphen:

 

 

Es ist: . Ferner ist:

 

 

1.2       SonderfŠlle

1.2.1      Das Goldene Rechteck

Falls das zu zerlegende Rechteck ein Goldenes Rechteck ist, erfolgt die Ÿbliche Zerlegung in Quadrate.

 

Abschneiden von Quadraten im Goldenen Rechteck

 

Abschneiden von Goldenen Rechtecken

 

1.2.2      Das DIN Rechteck

Im DIN Recheck ist zunŠchst . Dann ist  und wegen  ist auch . Es sind also simultan das gro§e zu zerlegende Rechteck wie die abzuschneidenden Rechtecke solche mit dem DIN VerhŠltnis. Daher gibt es im Unterschied zum Goldenen Rechteck (und auch allen Ÿbrigen Rechtecken) nur eine Figur.

 

DIN Rechteck

 

2        Zerlegung in Sehnenvierecke

Das folgende Bild zeigt eine Zerlegung in vier Vierecke, welche je durch eine Drehstreckung auseinander hervorgehen. Die Zerlegung geht allerdings nicht auf. Die vier Vierecke sind Sehnenvierecke.

 

Zerlegung (mit Rest) in Sehnenvierecke

 

Die Figur kann auch mit nur zwei Farben gezeichnet werden.

 

Zerlegung in zwei Farben

 

2.1       SonderfŠlle

2.1.1      Goldenes Rechteck

In der folgenden Figur ist das Umrissrechteck eine Goldenes Rechteck. Ebenso ist das grŸne Rechteck ein Goldenes Rechteck. Links neben dem grŸnen Rechteck steht ein nicht sichtbares Quadrat.

 

Wo ist das Goldene Rechteck?

 

In der folgenden Figur ist das links neben dem grŸnen Rechteck stehende nicht eigentlich sichtbare Rechteck ein Goldenes Rechteck.

 

Wo ist das Goldene Rechteck?

 

2.1.2      DIN Rechteck

Beim DIN Rechteck gibt es wiederum nur eine Variante, die  hat es aber in sich.

 

DIN Rechteck

 

Die Sehnenvierecke sind in diesem Fall sogar Drachenvierecke.

 

DIN Drachen