Hans Walser, [20180703]
Rechter Winkel?
1 Worum geht es?
Es wird eine Vermutung um einen Schnittwinkel untersucht, die sich als falsch erweist.
2 Tangenskurve und gespiegelte Sinuskurve
Die Abbildung 1 zeigt die Tangenskurve und die gespiegelte Sinuskurve. Sie schneiden sich im Ursprung unter einem rechten Winkel.
Abb. 1: Tangenskurve und gespiegelte Sinuskurve
3 Verschieben der gespiegelten Sinuskurve
Die Frage ist, ob der rechte Winkel erhalten bleibt, wenn wir die gespiegelte Sinuskurve vertikal verschieben (Abb. 2).
Abb. 2: Verschieben der gespiegelten Sinuskurven
4 Schnittwinkel
Die Tabelle 1 zeigt die Schnittwinkel fźr einige Verschiebungen nach oben.
|
n |
Verschiebung |
Schnittwinkel |
|
0 |
0 |
90ˇ |
|
1 |
0.2621786898 |
90.24611987ˇ |
|
2 |
0.5267682375 |
90.99178088ˇ |
|
3 |
0.7968969950 |
92.25168311ˇ |
|
4 |
1.077350269 |
94.02349700ˇ |
|
5 |
1.376088417 |
96.24014145ˇ |
|
6 |
1.707106781 |
98.69933846ˇ |
|
7 |
2.096578713 |
100.9972166ˇ |
|
8 |
2.598076212 |
102.5288077ˇ |
|
9 |
3.338093094 |
102.6094721ˇ |
|
10 |
4.697976634 |
100.6784547ˇ |
|
11 |
8.587198980 |
96.46049889ˇ |
Tab. 1: Schnittwinkel
Die Winkel werden grš§er als 90ˇ. Allerdings nehmen sie dann wieder ab und im Grenzfall haben wir wieder einen rechten Winkel.
Die Abbildung 3 zeigt den Winkel in ˇ in AbhŠngigkeit von der Verschiebung.
Abb. 3: Verschiebung und Winkel
Die Abbildung 4 zeigt einen grš§eren Verschiebungsausschnitt.
Abb. 4: Grš§erer Ausschnitt
5 Winkelberechnung
Mit t0 bezeichnen wir die x-Koordinate des Schnittpunktes. Der Schnittpunkt S hat damit die Koordinaten:
(1)
Um diesen Schnittpunkt zu erhalten, benštigen wir fźr die gespiegelte Sinuskurve die Verschiebung d:
(2)
Die Tangenskurve
hat im Schnittpunkt S den
Richtungsvektor 
:
(3)
Die
gespiegelte Sinuskurve hat im Schnittpunkt S
den Richtungsvektor 
:
(4)
Fźr den
Schnittwinkel 
der beiden
Vektoren erhalten wir:
(5)
Der
Schnittwinkel 
ist also
kein konstanter rechter Winkel.