Hans Walser, [20251114]
Rechtwinklige Dreiecke im Quadrat
1 Worum es geht
Zerlegungsspielerei im Quadrat
2 Die Zerlegung
Wir zerlegen ein Quadrat in vier rechtwinklige Dreiecke (Abb. 1). Für Maßangaben setzen wir die Quadratseite auf 1.
Abb. 1: Zerlegung des Quadrates
Das gelbe und das grüne Dreieck sind ähnlich.
Als Parameter t für die Zerlegung verwenden wir die senkrechte Kathete des gelben Dreiecks (Abb. 2). Der Parameter t variiert von 0 bis 1.
Abb. 2: Variation des Parameters
3 Maße
Wir geben die Formeln für einige Maße in Abhängigkeit des Parameters t.
3.1 Flächeninhalte
Flächeninhalt des gelben Dreiecks = ½ t
Flächeninhalt des grünen Dreiecks = ½ (t – 2t2 + t3)
Flächeninhalt des roten Dreiecks = ½ (1 – t + t2 – t3)
Flächeninhalt des hellblauen Dreiecks = ½ (1 – t + t2)
3.2 Winkel
Für den Winkel an der linken untere Ecke des Quadrates erhalten wir:
Winkel beim gelben Dreieck = arctan(t)
Winkle beim roten Dreieck = arctan(1 – t)
4 Spezielle Parameterwerte
4.1 Parameterwert t = ⅓
Für t = ⅓ wird der Flächeninhalt des grünen Dreiecks maximal (Abb. 3).
Abb. 3: Grünes Dreieck maximal
4.2 Parameterwert t = ½
Die Abbildung 4 zeigt die Situation für den Parameterwert t = ½ .
Abb. 4: Parameterwert t = ½
Der Flächeninhalt des hellblauen Dreiecks
ist minimal.
Das hellblaue Dreieck hat das Seitenverhältnis 3 : 4 : 5 , ist also ein pythagoreisches Dreieck.
Das gelbe und das roten Dreieck haben an der linken unteren Quadratecke denselben Winkel. Dieser ist arctan(½) ≈ 26.565°. Die beiden Dreiecks sind ähnlich. Damit sind das gelbe, das grüne und das rote Dreieck ähnlich.
Die Flächeninhalte der Dreiecke verhalten sich wie:
gelb : grün : rot : hellblau = ¼ : 1/16 : 5/16 : 3/8 = 4 : 1 : 5 : 6
Die Abbildung 5 illustriert dieses Flächenverhältnis mit einer gemeinsamen Binnenzerlegung.
Abb. 5: Flächenverhältnis