Hans Walser, [20140417]
RegulŠre Polygone gerader Eckenzahl
1 FlŠchengleichheiten
Bei regulŠren Polygonen gerader Eckenzahl gelten die in der Abbildung 1 angedeuteten FlŠchenbeziehungen.
Abb. 1: FlŠchenbeziehungen
Diese Beziehungen lassen sich durch Nachrechnen verifizieren. FŸr ein 2m-Eck erhalten wir einerseits den gesamten FlŠcheninhalt
und andererseits fŸr das Rechteck den FlŠcheninhalt
.
Somit ergibt sich das FlŠchenverhŠltnis
.
Wenn m eine gerade Zahl ist, also die Eckenzahl des Polygons eine Viererzahl, geht es auf.
Falls m eine ungerade Zahl ist, ergibt sich ein halbzahliges VerhŠltnis. Die Eckenzahl des Polygons ist dann 6, 10, 14, ... . Euler (1782) bezeichnete diese Zahlen als nombres impairement pairs. Diese etwas merkwŸrdige Formulierung wurde von meinen Studierenden etwa so interpretiert: Diese Zahlen setzen sich aus einer ungeraden Anzahl von Paaren zusammen. Sie besetzen in der Liste der geraden Zahlen die ungeraden Positionen. Sie sind die Summe von zwei ungeraden Zahlen.
2 Zerlegungsbeweise
Die Abbildung 2 zeigt einheitliche Zerlegungsbeweise.
Abb. 2: Zerlegungsbeweise
Die Abbildung 3 zeigt dasselbe in einer anderen FŠrbung.
Abb. 3: Sterne
Die Abbildung 4 zeigt eine weitere Variante.
Abb. 4: Variante
NatŸrlich gibt es noch viele andere Zerlegungsbeweise.
Literatur
Euler, L.
(1782): Recherches sur une
nouvelle espce de quarrŽs magiques. Opera
Omnia, Series 1, Volume 7, 291-392. Enestršm Index 530.