Hans Walser, [20200619]

RegelmŠ§ige Vielecke

1    Worum geht es?

Eine Schlie§ungsfigur mit regelmŠ§igen Vielecken.

2    EinfŸhrung

Wir kšnnen sechs regelmŠ§ige Dreiecke (Abb. 1a), vier Quadrate (Abb. 1b) oder drei regelmŠ§ige Sechsecke (Abb. 1c) an einer Ecke zusammenfŸgen, so dass es nach einem Umlauf aufgeht.

Abb. 1: AneinanderfŸgen von regelmŠ§igen Vielecken

Bei regelmŠ§igen FŸnfecken geht es nicht mehr so schlank.

Abb. 2: RegelmŠ§ige FŸnfecke

Nach drei FŸnfecken bleibt eine LŸcke von 36¡ Ÿbrig (Abb. 2a), die sich nicht mehr mit einem weiteren FŸnfeck schlie§en lŠsst. Wenn wir jedoch unbeirrt weiterfahren, kommen wir nach insgesamt zehn FŸnfecken und drei UmlŠufen zurŸck (Abb. 2b). Wir haben also eine Schlie§ungsfigur.

TatsŠchlich ist es so, dass Dreieck, Quadrat und Sechseck (Abb. 1) die einzigen konvexen Vielecke sind, die sich nach einem Umlauf schlie§en.

3    Beispiele

Im Folgenden systematisch Beispiele. Es sind jeweils die Eckenzahl n ³ 3 des regelmŠ§igen Vieleckes, die Anzahl a der benštigten Vielecke und die Umlaufszahl u angegeben.

4    Anzahl und Umlaufszahl

Der Innenwinkel eines n-Ecks ist . Bei jedem AnfŸgen eines n-Eckes wird also um diesen Winkel weitergedreht. Die Schlie§ungsbedingung fŸhrt auf:

 

                                                                             (1)

 

 

 

 

Weiter mŸssen a und u teilerfremd sein (um Ehrenrunden zu vermeiden). Somit ergibt sich fŸr gegebenes n:

 

                                                             (2)

 

 

 

 

 

Dadurch, dass wir zuerst den Bruch  bilden und kŸrzen und erst anschlie§end in ZŠhler und Nenner aufteilen, erreichen wir, dass a und u teilerfremd sind.

 

n

a

u

 

n

a

u

 

 

 

 

21

42

19

 

 

 

 

22

11

5

3

6

1

 

23

46

21

4

4

1

 

24

24

11

5

10

3

 

25

50

23

6

3

1

 

26

13

6

7

14

5

 

27

54

25

8

8

3

 

28

28

13

9

18

7

 

29

58

27

10

5

2

 

30

15

7

11

22

9

 

31

62

29

12

12

5

 

32

32

15

13

26

11

 

33

66

31

14

7

3

 

34

17

8

15

30

13

 

35

70

33

16

16

7

 

36

36

17

17

34

15

 

37

74

35

18

9

4

 

38

19

9

19

38

17

 

39

78

37

20

20

9

 

40

40

19

Tab. 1: Eckenzahl, Anzahl, Umlaufszahl

5    Rationales

Wenn wir in (2) die rationale Zahl  einsetzen, ergibt sich:

 

                                                                                                 (3)

 

 

 

 

Beim  haben wir also mit 10 Exemplaren schon nach einem Umlauf eine Schlie§ungsfigur. Das  ist das Pentagramm (Abb. 4a). Die Zahl 2 im Nenner bedeutet, dass auf dem Umkreis jeweils jede zweite Ecke genommen wird.

Das angefŸgte zweite Pentagramm (Abb. 4b) Ÿberlappt sich teilweise mit dem ersten.

Abb. 4: Pentagramm

Im Folgenden einige Beispiele dieser Art.

 

Websites

[1] The on-line encyclopedia of integer sequences

https://oeis.org/A145979