Hans Walser, [20150106]

RegelmŠ§ige Zahlenvielecke

1    Worum es geht

Mit Hilfe der Bi-, Tri- und Tetranomialzahlen werden Zahlenanordnungen im regelmŠ§igen Dreieck, im Quadrat und im regelmŠ§igen Sechseck konstruiert.

2    Binomialkoeffizienten

2.1      Ausgangslage

Die Abbildung 1 zeigt oben Mitte das Pascalsche Dreieck der Binomialkoeffizienten. Das Dreieck ist unten offen, in der Abbildung 1 ist nur die Situation bis zur Reihe Nummer 6 (Nummerierung beginnt mit null) angegeben. Das Dreieck hat eine senkrechte Symmetrieachse.

 

Abb. 1: Binomialkoeffizienten

 

In der Abbildung 1 sind unten zwei weitere Dispositionen des Pascalschen Dreiecks der Binomialkoeffizienten angegeben.

2.2      †berlagerung

Die Idee ist nun, diese drei Dreiecke zu Ÿberlagern. Die †berlagerungsfigur hat dann die Symmetrien des regelmŠ§igen Dreiecks.

Dann haben wir in jedem Feld drei Zahlen.

Wir kšnnen diese drei Zahlen auf verschiedene Arten miteinander verrechnen. Um die Symmetrie zu erhalten, mŸssen die ternŠren Rechenoperationen gegenŸber Permutationen der drei Zahlen invariant sein. Als Beispiele bieten sich etwa an:

 

 

 

 

 

2.3      Beispiele

2.3.1    Produkt

Wir arbeiten mit dem Produkt der drei Zahlen. Die Abbildung 2 zeigt die Situation fŸr verschieden gro§e Dreiecke. Wir erkennen an den RŠndern die gewšhnlichen Binomialkoeffizienten.

 

    

 

    

 

    

 

    

Abb. 2: Produkte

 

2.3.2    Summe

 

Abb. 3: Summe

 

2.3.3    Summe der Produkte von je zwei Zahlen

 

Abb. 4: Summe der Produkte von je zwei Zahlen

 

2.3.4    Maximum

 

Abb. 5: Maximum der drei Zahlen

 

2.3.5    Minimum

 

Abb. 6: Minimum

 

2.4      FŠrbung

In der Abbildung 7 wird mit dem Produkt gearbeitet. Die Felder sind gefŠrbt je nachdem, welchen Wert das Produkt modulo 8 annimmt (Tab. 1).

 

x mod 8

0

1

2

3

4

5

6

7

RGB

0, 0, 0

1, 0, 0

0, 1, 0

1, 1, 0

0, 0, 1

1, 0, 1

0, 1, 1

1, 1, 1

Farbe

 

 

 

 

 

 

 

 

Tab. 1: Farbcode

 

 

 

Abb. 7: FŠrbung modulo 8

 

Eine VerŠnderung der Ausma§e des Dreieckes verŠndert die Farben.

2.5      Parkettierung

Die Dreiecke haben keinen glatten Rand. Das macht Probleme bei einer Parkettierung.

Wenn wir mit zwei Farben auskommen wollen, mŸssen wir LŸcken einbauen (Abb. 8).

 

Abb. 8: Parkettierung mit LŸcken

 

Die Mittelpunkte der Parkettsteine bilden ein regelmŠ§iges Sechseckraster (Abb. 9).

 

Abb. 9: RegelmŠ§iges Sechseckraster

 

Bei vier Farben geht es lŸckenlos (Abb. 10).

 

Abb. 10: LŸckenlose Parkettierung

 

Allerdings bilden die Mittelpunkte der Parkettsteine nun kein regelmŠ§iges Sechseckraster mehr (Abb. 11). Die Sechsecke sind affin verzerrt.

 

Abb. 11: Kein regelmŠ§iges Sechseckraster

 

3    Trinomialkoeffizienten

3.1      Die Koeffizienten

Wir arbeiten mit den Koeffizienten von . Es ist:

 

 

 

 

 

 

Diese Trinomialkoeffizienten kšnnen symmetrisch in einem Karoraster angeordnet werden gemŠ§ Abbildung 12. Wir haben ein nach unten offenes Zahlendreieck.

 

Abb. 12: Trinomialkoeffizienten

 

Jede Zahl ist die Summe der drei Zahlen, welche in der oberen Reihe direkt darŸber sowie links und rechts davon stehen.

3.2      †berlagerung

Die Abbildung 13 zeigt nun quadratische Ausschnitte aus dem Dreieck der Trinomialkoeffizienten in vier verschiedenen Anordnungen.

 

Abb. 13: Ausschnitte

 

Wir kšnnen nun die vier Quadrate Ÿberlagern und in jedem Feld die vier Zahlen geeignet verrechnen.

Die Abbildungen 14 und 15 zeigen †berlagerungen mit Summen und Produkten.

 

Abb. 14: Summen

 

Abb. 15: Produkte

 

3.3      FŠrbung

Wir arbeiten wieder mit einer modularen FŠrbung gemŠ§ Tabelle 1. In den Beispielen der Abbildung 16 ist mit Summen gearbeitet worden.

 

 

Abb. 16: FŠrbung modulo 8

 

3.4      Parkettierung

Die Parkettierung macht keine Probleme (Abb. 17). Die Mittelpunkte der Parkettsteine bilden ein Quadratraster, das allerdings etwas schrŠg in der Landschaft hŠngt.

 

  

Abb. 17: Parkettierung

 

4    Tetranomialkoeffizienten

4.1      Die Koeffizienten

Wir arbeiten mit den Koeffizienten von . Es ist:

 

 

 

 

 

 

Die Koeffizienten passen nun wieder in ein Hexagonalraster (Abb. 18).

 

Abb. 18: Tetranomialkoeffizienten

 

Jede Zahl ist die Summe der vier Zahlen, die in der Reihe darŸber symmetrisch oberhalb der Zahl positioniert sind.

4.2      †berlagerung

Die Abbildung 19 zeigt einen hexagonalen Ausschnitt aus dem Dreieck der Tetranomialkoeffizienten.

 

Abb. 19: Hexagonaler Ausschnitt

 

Die Abbildung 20 zeigt die sechs Anordnungen fŸr die †berlagerung.

 

Abb. 20: Bereitstellung zur †berlagerung

 

Die Abbildungen 21 und 22 zeigen Summe und Produkt in der †berlagerung.

 

Abb. 21: Summe

 

Abb. 22: Produkt

 

4.3      FŠrbung

Die Abbildungen 23 und 24 zeigen FŠrbungen gemŠ§ Tabelle 1 fŸr Summe und Produkt.

 

Abb. 23: FŠrbung, Summe

 

Abb. 24: FŠrbung, Produkt

 

Sobald drei Primfaktoren 2 vorkommen, wird es schwarz.

4.4      Parkettierung

Die Parkettierung geht gut, braucht aber drei Farben (Abb. 25). Die Mittelpunkte der Parkettsteine bilden ein regelmŠ§iges Dreiecksraster.

 

Abb. 25:Parketteriung

 

5    Wie geht es weiter?

Die Frage ist falsch gestellt. Es mŸsste hei§en: Geht es weiter?

Wir kšnnen zwar problemlos zum Beispiel Pentanomialkoeffizienten bilden. Diese lassen sich auch in einem Quadratraster anordnen. Und die Hexanomialkoeffizienten lassen sich in einem Hexagonalraster anordnen. Allerdings werden bei den Koeffizientendreiecken die Winkel an der Spitze immer stumpfer, ein passendes regelmŠ§iges Vieleck mŸsste mehr Ecken haben. Das ist aber in der Rastergeometrie nicht mšglich.