Hans Walser, [20200118]
RegelmŠ§ige Rhomboeder
Anregung: L. H., B.
1 Worum geht es?
Formel fŸr SeitenflŠchenwinkel und FlŠchenwinkel bei regelmŠ§igen Rhomboedern.
2 RegelmŠ§iges Rhomboeder
SeitenflŠchen
sind kongruente Rhomben. Mit 
bezeichnen
wir den spitzen Rhombenwinkel, mit 
den
stumpfen Rhombenwinkel.
An den stumpfen Winkeln der Rhomben kommen drei Rhomben zusammen.
An den spitzen Winkeln der Rhomben kommen k Rhomben zusammen.
3 Beispiele
Rhombendodekaeder: k = 4
Rhombentriakontaeder: k = 5
4 Problemstellung
Zu
gegebenem k sind 
und der
FlŠchenwinkel 
gesucht.
5 Bearbeitung
Wir schneiden eine Ecke mit spitzen Rhombenwinkeln und eine Ecke mit stumpfen Rhombenwinkeln je mit einer Einheitskugel (Abb. 1 fŸr das Rhombendodekaeder).
Abb. 1: Einheitskugeln in den Ecken
In einer
Ecke mit k spitzen Rhombenwinkeln schneiden die Rhomben aus der Kugel ein
regelmŠ§iges sphŠrisches k-Eck heraus
(Abb. 2 fŸr k = 4). Dieses hat die
SeitenlŠnge 
und
besteht aus k
gleichschenkligen sphŠrischen Dreiecken. Wir halbieren eines davon mit
der Symmetrielinie und erhalten das in der Abbildung 2 markierte rechtwinklige
sphŠrische Dreieck ABC.
Abb.2: RegelmŠ§iges sphŠrisches k-Eck
Der
Winkel bei A ist der halbe
FlŠchenwinkel, also 
. Bei B
haben wir den Winkel 
und bei C einen rechten Winkel. Der Bogen CA hat die LŠnge 
.
Dies ist Fall fŸr den sphŠrischen Winkel-Kosinus-Satz. Dieser lautet allgemein:
(1)
In unserem Fall ist:
(2)
Der reche Winkel vereinfacht die Sache.
In einer
Ecke mit drei stumpfen Rhombenwinkeln schneiden die Rhomben aus der Kugel ein
regelmŠ§iges sphŠrisches Dreieck heraus (Abb. 3). Dieses hat die SeitenlŠnge 
und
besteht aus drei gleichschenkligen sphŠrischen Dreiecken. Wir halbieren eines davon
mit der Symmetrielinie und erhalten das in der Abbildung 3 markierte rechtwinklige
sphŠrische Dreieck ABC.
Abb. 3: RegelmŠ§iges sphŠrisches Dreieck
Der
Winkel bei A ist der halbe
FlŠchenwinkel, also 
. Bei B
haben wir den Winkel 
und bei C einen rechten Winkel. Der Bogen CA hat die LŠnge 
.
Wiederum ein Fall fŸr den sphŠrischen Winkel-Kosinus-Satz (1). In unserem Fall ist nun:
(3)
Aus (2)
und (3) ergibt sich durch Elimination von 
:
(4)
Daraus folgt:
(5)
Schlie§lich erhalten wir aus (3):
(6)
Dies kann mit einiger Rechnung durch Einsetzen von (4) umgeformt werden zu:
(7)
Damit
haben wir 
und 
durch k ausgedrŸckt.
6 Numerische Werte
Die Tabelle 1 gibt die ersten numerischen Werte.
|
k |
Spitzer
|
Stumpfer
|
FlŠchenwinkel |
Bemerkungen |
|
3 |
90¡ |
90¡ |
90¡ |
Rhombenhexaeder |
|
4 |
70.52877932¡ |
109.4712207¡ |
120¡ |
Rhombendodekaeder |
|
5 |
63.43494883¡ |
116.5650512¡ |
144¡ |
Rhombentriakontaeder |
|
6 |
60¡ |
120¡ |
180¡ |
Rhombenparkett (Abb. 4) |
|
7 |
58.05688136¡ |
121.9431186¡ |
180¡ – 28.18913834i¡ |
komplex |
Tab. 1: Numerische Werte
FŸr k = 3 ergibt sich der WŸrfel als Sonderfall eines regelmŠ§igen Rhomboeders.
FŸr k = 4 (Rhombendodekaeder) erkennen wir die kristallografischen Winkel. Diese sind auch die Diagonalenschnittwinkel in einem DIN A4-Papier (Walser 2013b). Der FlŠchenwinkel ist der Innenwinkel des regelmŠ§igen ebenen Sechseckes.
FŸr k = 5 (Rhombentriakontaeder) haben wir die Diagonalenschnittwinkel des Goldenen Rechteckes (Walser 2013a). Der FlŠchenwinkel ist der Innenwinkel des regelmŠ§igen ebenen Zehnecks.
FŸr k = 6 ergibt sich das Rhombenparkett der Abbildung 4.
Abb. 4: Rhombenparkett
Ab k = 7 gibt es keine reellen Lšsungen.
Websites
Hans Walser: FlŠchenwinkel bei regelmŠ§igen Polyedern
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Flaechenwinkel_regelm/Flaechenwinkel_regelm.htm
Hans Walser: FlŠchenwinkel
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Flaechenwinkel/Flaechenwinkel.htm
Hans Walser: SphŠrische Trigonometrie
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Sphaer_Trigo/Sphaer_Trigo.pdf
Hans Walser: Formeln fŸr die sphŠrische, euklidische und hyperbolische Geometrie
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Formeln/Formeln.htm
Literatur
Walser, Hans (2013a): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing Ÿber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.
Walser, Hans (2013b): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-69-1.
Walser, Hans (2017): EAGLE STARTHILFE Kartografie. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig. ISBN 978-3-95922-098-9.