Hans Walser, [20260818]

Regelmäßige Zwölfecke

1 Worum es geht

Regelmäßiges Zwölfeck in der Ebene

Regelmäßige Zwölfecke im Raum

Torsion

2 In der Ebene

In der Ebene gibt es bis auf Skalierung genau ein regelmäßiges Zwölfeck (Abb. 1). Wir haben an jeder Ecke eine Richtungsänderung von 30°.

Abb. 1: Regelmäßiges Zwölfeck

Allgemein spricht man von einem regelmäßigen Vieleck in der Ebene, wenn alle Kanten gleich lang und alle Richtungsänderungen gleich groß sind.

Mit dem Kreuz (Abb. 2) ist es ein Kreuz. Es hat zwar zwölf gleich lange Kanten und auf den ersten Blick auch zwölf gleich große Richtungsänderungen, nämlich 90°.

Abb. 2: Kreuz

Allerdings haben wir bei den Richtungsäderungen achtmal backbord querab und viermal steuerbord querab. Also achtmal eine Richtungsänderung von +90° und viermal eine Richtungsäderung von –90°. Das Kreuz ist daher kein regelmäßiges Zwölfeck in der Ebene.

Anders ist es im Raum.

3 Im Raum

Im Raum spricht man von einem regelmäßigen Vieleck, wenn alle Kanten gleich lang und alle Richtungsänderungen gleich groß sind. Das tönt genau gleich wie in der Ebene. Das Problem ist, dass es im Raum keine Orientierung der Richtungsänderung gibt.

3.1 Regelmäßige orthogonale Zwölfecke

Daher ist das Kreuz, als Figur im Raum interpretiert, ein regelmäßiges orthogonales Zwölfeck.

Es gibt weitere, sogar unendlich viele, regelmäßige orthogonale Zwölfecke im Raum (Abb. 3 bis Abb. 6).

Abb. 3: Verbogenes Kreuz

Abb. 4: Regelmäßige orthogonale Zwölfecke

Im Beispiel der Abbildung 5 haben wir im Wechsel horizontale und vertikale Kanten. Die Fußpunkte der vertikalen Kanten bilden ein regelmäßiges Sechseck.

Abb. 5: Regelmäßiges orthogonales Zwölfeck

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Abb. 6: Regelmäßiges orthogonales Zwölfeck

3.2 Torsion

Zur Beschreibung eines regelmäßigen Vielecks im Raum sind Angaben über Seitenlänge und Richtungsänderung nicht ausreichend. Wir brauchen eine dritte Information.

Eine Möglichkeit dazu ist die Torsion.

Die Torsion einer Kante ist der Drehwinkel zwischen der durch die Kante und die vorangegangene Kante definierte Ebene einerseits und der durch ebendiese Kante und die Nachfolgekante definierte Ebene andererseits. Der Winkel ists orientiert aus der Sicht vom Anfang zum Ende der Kante.

Dieser Drehwinkel kann visualisiert werden durch ein Band längs der Kanten, das auf der Innenseite rot und auf der Außenseite blau ist und an den Ecken des Vielecks so gebogen wird, dass die blaue Seite außen ist. Die Verdrehung des Bandes ist die Torsion längs der betreffenden Kante.

Wir illustrieren dies am Beispiel der Abbildung 5 durch die Abbildung 7.

Abb. 7: Illustration der Torsion

Bei den horizontalen Kanten unten und oben haben wir keine Torsion, da bei einer horizontalen Kante die Vorgängerkante und die Nachfolgekante in derselben Ebene liegen.

Bei den vertikalen Kanten haben wir im Wechsel eine Verdrehung um +120° oder –120°.

Im zur Abbildung 6 gehörenden Torsionsmodell (Abb. 8) sind sämtliche Kanten verdreht. Die Torsion wechselt alternierend zwischen 137.059° und –137.059°.

Abb. 8: Alternierende Torsion

Die Abbildung 9 zeigt die Kinematik der Torsion der Abbildung 4.

Abb. 9: Kinematik

3.3 Richtungsänderung 120°

3.3.1 Krone

Im Beispiel der Abbildung 10 haben wir eine konstante Richtungsänderung von 120°. Die Torsion beträgt alternierend 145.222° und –145.222°.

Abb. 10: Richtungsänderung 120°

3.3.2 Oktaeder

Wenn wir bei einem Oktaeder die sechs Ecken je doppelt zählen, können wir ein regelmäßiges Zwölfeck mit einer Richtungsänderung von 120° hineinlegen. Die Abbildung 11 zeigt zunächst das Oktaeder in der üblichen Würfeleinbeschreibung und dann die Situation mit leicht getrennten Oktaederecken. Im zweiten Fall ist das Zwölfeck zwar noch gleichseitig, aber nicht mehr gleichwinklig.

Abb. 11: Oktaeder und gestörtes Oktaeder im Würfel

Die Abbildung 12 zeigt eine Animation dazu. Die Zwölfecke verändern dabei die Seitenlängen, sind aber durch gehend gleichseitig. Einige Richtungsänderungen bleiben invariant bei 120°, andere werden kleiner, in der Endlage noch 60°.

Abb. 12: Gleichseitige Zwölfecke

Die als Zwölfeck interpretierte Kantenfigur des Oktaeders (Abb. 13) ist gleichseitig und hat die konstante Richtungsänderung 120°.

Abb. 13: Oktaederkanten als regelmäßiges Zwölfeck

Die Torsionen längs der Kanten sind der Reihe nach:

109.471°, 0°, –109.471°, 0°, 109.471°, 0°, –109.471°, 0°, 109.471°, 0°, –109.471°, 0°

Jede zweite Kante ist torsionsfrei, die Torsionen der anderen Kanten alternieren. Der Torsionswinkel 109.471° ist der Diederwinkel des Oktaeders (Schnittwinkel zweier Seitendreiecke an einer gemeinsamen Kante).

3.4 Konstante Torsion

Beim Versuch, ein regelmäßiges Zwölfeck mit konstanter Torison zu konstruieren, erhalten wir eine eckige Schraubenlinie (Abb. 14, orthogonaler regelmäßiger Polygonzug mit konstanter Torsion 90°). Es ists kein geschlossenes Zwölfeck.

Abb. 14: Konstante Torsion

Literatur

Siegerist, Franz & Wirth, Karl (2020): Regular spatial hexagons. Elem. Math. 77 (2022), no. 1, pp. 1–19. DOI 10.4171/EM/434

Siegerist, Franz & Wirth, Karl (2024): Regular spatial heptagons based on symmetry. Elem. Math. 79 (2024), no. 2, pp. 45–56. DOI 10.4171/EM/500

Siegerist, Franz & Wirth, Karl (2026): Regular spatial octagons. Elem. Math. (2026), published online first. DOI 10.4171/EM/591