Hans Walser, [20260806]

Rhomben im 14-Eck

1 Ausgangslage

In einem regelmäßigen 14-Eck tragen wir zwei benachbarte Speichen ein (Abb. 1).

Abb. 1: Regelmäßiges 14-Eck

2 Wechselseitiges Abtragen. Schließungsfigur

Vom Mittelpunkt aus tragen wir auf einer der beiden Speichen die Seitenlänge des 14-Ecks ab (Abb. 2.1).

Abb. 2.1: Abtragen der Seitenlänge des 14-Ecks

Von diesem Punkt aus tragen wir die Seitenlänge des 14-Ecks auf die andere Speiche ab (Abb. 2.2).

Abb. 2.2: Abtragen auf die andere Speiche

Nun tragen wir die Seitenlänge des 14-Ecks auf die erste Speiche ab (Abb. 2.3). Wir kommen zu einem Eckpunkt des 14-Ecks.

Abb. 2.3: Abtragen auf die erste Speiche

Das Abtragen auf die zweite Speiche führt zu einem entsprechenden zweiten Eckpunkt des 14-Ecks (Abb. 2.4).

Abb. 2.4: Abtragen auf die zweite Speiche

Das weitere wechselseitige Abtragen führt im Zick-Zack zurück zum Mittelpunkt (Abb. 2.5 bis Abb. 2.7).

Abb. 2.5 bis 2.7: Zick-Zack zurück

Wir haben eine Schließungsfigur mit sieben Schritten.

3 Anderer Startpunkt

Bei einem anderen Startpunkt schließt sich die Figur nicht (Abb. 3).

Abb. 3: Anderer Startpunkt

Abb. 4: Variation des Startpunktes

Allerdings gibt es eine Startposition mit einer Schließungsfigur sogar nach sechs Schritten (Abb. 5). Die abgetragenen Strecken sind doppelt. Die dritte und vierte der abgetragenen Strecken stehen senkrecht auf der ersten Speiche.

Abb. 5: Schließungsfigur nach sechs Schritten

4 Weiteres Abtragen

Wenn wir aber das wechselseitige Abtragen auf der anderen Seite der Speichen fortsetzen, ergibt sich eine Schließungsfigur mit 14 Schritten (Abb. 6 und Abb. 7). Der linke Teil der Figur ergibt sich durch Spiegeln an der eingetragenen senkrechten Speiche.

Abb. 6: Schließungsfigur mit 14 Schritten

Abb. 7: Schließungsfiguren in 14 Schritten

5 Füllen des 14-Ecks

Die Schließungsfiguren spielen in zwei spiegelbildlichen Sektoren des 14-Ecks. Durch Spiegeln an den Speichen können wir das ganze 14-Eck füllen (Abb. 8). Das 14-Eck selbst ist in den folgenden Abbildungen weggelassen.

Die Figur besteht in jeder Situation aus Rhomben, welche sich gegenseitig überschneiden.

Abb. 8: Im 14-Eck

6 Sonderfälle

Mit dem Startpunkt im Mittelpunkt ergibt sich eine Figur mit dem Umriss des ursprünglichen 14-Ecks (Abb. 9).

Abb. 9: Umriss das 14_Eck

Im Sonderfall der Schließungsfigur der Abbildung 5 ergibt sich eine Figur mit einem regelmäßigen Siebeneck als Umriss (Abb. 10).

Abb. 10: Umriss ein Siebeneck

7 Verallgemeinerung

Das Verfahren funktioniert mit allen regelmäßigen n-Ecken mit n = 4k + 2, k > 0. Das sind die Zahlen 6, 10, 14, 18, … .

7.1 Regelmäßiges Zehneck

Abb. 11: Regelmäßiges Zehneck als Ausgangslage

Abb. 12: Sonderfälle

7.2 Regelmäßiges Sechseck

Abb. 13: Regelmäßiges Sechseck als Ausgangslage

Abb. 14: Sonderfälle

Literatur

Walser, Hans (1988): Ein Schließungssatz der Elementargeometrie. Elemente der Mathematik (43), 1988, 161-169