Hans Walser, [20220720]
Rhombenhexaeder
Die Abbildung 1 zeigt zwei Figuren, die aus je sechs kongruenten Rhomben zusammengesetzt sind.
Abb. 1: Rhombenfiguren
Wir können jede dieser Figuren als Abwicklung eines von sechs kongruenten Rhomben begrenzten Körpers (eines Rhombenhexaeders) interpretieren.
Frage: Sind die beiden Rhombenhexaeder kongruent?
Die beiden Rhombenhexaeder sind nicht kongruent.
Eine ausführliche Studie über Rhombenhexaeder findet sich hier.
In den Abwicklungen (Abb. 3) sind die Ecken in der bei Hexaedern, insbesondere bei Würfeln (Abb. 2), üblichen Reihenfolge beschriftet.
Abb. 2: Eckenbeschriftung beim Würfel
Abb. 3: Entsprechende Beschriftung der Ecken der Rhombenhexaeder
Wir sehen nun folgendes:
a) Im Beispiel a) haben wir zwei diametrale Ecken, nämlich A und G, bei denen ausschließlich spitze Rhombenwinkel liegen. Bei den sechs übrigen Ecken kommen je ein spitzer und zwei stumpfe Rhombenwinkel vor. Wir bezeichnen dieses Rhombenhexaeder als spitzes Rhombenhexaeder.
b) Im Beispiel b) ist es genau umgekehrt. Wir haben zwei diametrale Ecken, nämlich A und G, bei denen ausschließlich stumpfe Rhombenwinkel liegen. Bei den sechs übrigen Ecken kommen je ein stumpfer und zwei spitze Rhombenwinkel vor. Wir bezeichnen dieses Rhombenhexaeder entsprechend als stumpfes Rhombenhexaeder.
Wegen der unterschiedlichen Winkelstruktur an den Ecken sind die beiden Rhombenhexaeder nicht kongruent.
Für das Volumen eines Rhombenhexaeders der Kantenlänge 1 und mit drei gleichen Rhombenwinkeln w an zwei diametralen Ecken erhält man nach einiger Rechnung die Formel:
In unserem Beispiel a) des spitzen Rhombenhexaeders ist der spitze Winkel w = 70° und entsprechend im Beispiel b) des stumpfen Rhombenhexaeders der stumpfe Winkel w = 110°.
Die Tabelle 1 zeigt, dass das spitze Rhombenhexaeder das größere Volumen hat.
w |
Volumen |
Bemerkungen |
0° |
0 |
Strecke |
10° |
0.0261801496 |
|
20° |
0.1023340925 |
|
30° |
0.2214454910 |
|
40° |
0.3722826858 |
|
50° |
0.5400379424 |
|
60° |
0.7071067810 |
Oktaeder mit zwei
diametral angesetzten Tetreaedern. √(½) |
70° |
0.8538642625 |
Spitzes Rhombenhexaeder der Abb. 1a |
80° |
0.9591721420 |
|
90° |
1 |
Würfel |
100° |
0.9481912596 |
|
110° |
0.7543534670 |
Stumpfes Rhombenhexaeder der Abb. 1b |
120° |
0 |
Plattes
regelmäßiges Sechseck |
Tab. 1:
Volumina
Die Abbildung 4
zeigt je ein Papiermodell des spitzen (links) und des stumpfen (rechts)
Rhombenhexaeders mit kongruenten Seitenrhomben. Wir sehen deutlich, dass das
spitze Rhombenhexaeder höher ist. Bei kongruenten Grundflächen bedeutet dies
ein größeres Volumen.
Abb. 4:
Papiermodelle
Die Papiermodelle
der Abbildung 4 sind mit den Schnittmustern der Abbildungen 5a und 5b gebaut
worden.
Abb. 5a: Schnittmuster spitzes Rhombenhexaeder
Abb. 5b: Schnittmuster stumpfes Rhombenhexaeder
Weblink
Hans Walser: Rhombenhexaeder
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/R/Rhombenhexaeder2/Rhombenhexaeder2.html