Hans Walser, [20230801]
Rhombentriakontaeder
1 Worum es geht
Diagonalen im Rhombentriakontaeder
2 Das Rhombentriakontaeder
Das Rhombentriakontaeder ist von 30 Rhomben mit dem Diagonalenverhältnis Φ : 1 begrenzt. Dabei ist Φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618 der Goldene Schnitt.
Abb. 1: Papiermodell des Rhombentriakontaeders
3 Koordinaten
In den folgenden Angaben ist Phi = Φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618 (Goldener Schnitt) und phi = 1/ Φ ≈ 0.648 (Kehrwert des Goldenen Schnittes).
A[0] :=
[0, 0, 0]:
A[1] :=
[Phi, 1, 0]: A[2] := [Phi, -1, 0]: A[3] := [-Phi, 1, 0]: A[4] := [-Phi, -1, 0]:
A[5] :=
[1, 0, Phi]: A[6] := [1, 0, -Phi]: A[7] := [-1, 0, Phi]: A[8] := [-1, 0, -Phi]:
A[9] :=
[0, Phi, 1]: A[10] := [0, Phi, -1]: A[11] := [0, -Phi, 1]: A[12] := [0, -Phi, -1]:
A[13] :=
[Phi, 0, phi]: A[14] := [Phi, 0,
-phi]: A[15] := [-Phi, 0, phi]: A[16] := [-Phi, 0, -phi]:
A[17] :=
[0, phi, Phi]: A[18] := [0, phi,
-Phi]: A[19] := [0, -phi, Phi]: A[20] := [0, -phi, -Phi]:
A[21] :=
[phi, Phi, 0]: A[22] := [phi, -Phi,
0]: A[23] := [-phi, Phi, 0]: A[24] := [-phi, -Phi, 0]:
A[25] :=
[1, 1, 1]: A[26] := [1, 1, -1]: A[27] := [1, -1, 1]: A[28] := [1, -1, -1]:
A[29] :=
[-1, 1, 1]: A[30] := [-1, 1, -1]: A[31] := [-1, -1, 1]: A[32] := [-1, -1, -1]:
Der Punkt A[0] := [0, 0, 0] ist der Mittelpunkt.
Die Punkte A[1] bis A[12] sind Eckpunkte eines Ikosaeders.
Die Punkte A[13] bis
A[32] sind Eckpunkte eines Dodekaeders.
Die Punkte A[25] bis
A[32] sind auch Eckpunkte eines Würfels.
Die Abbildung 2 gibt
einen Überblick über die Positionen der 32 Eckpunkte.
Abb. 2:
Nummerierung der Ecken
4 Diagonalen
4.1 Ansicht
Die Abbildung 3 zeigt das Rhombentriakontaeder mit sämtlichen Diagonalen.
Abb. 3: Diagonalen
4.2 Spezielle Sichten
Abb. 4.1: Sicht auf einen Seitenrhombus
Abb. 4.2: Sicht auf eine Ecke, bei der drei Seitenrhomben zusammenstoßen
Abb. 4.3: Sicht auf eine Ecke, bei der fünf Seitenrhomben zusammenstoßen
4.3 Tabellarische Übersicht
|
Farbe |
Nummer |
Länge |
Exakte Länge relativ zu Diagonale 3 |
Länge relativ zu Diagonale 3 |
Anzahl |
Bemerkungen |
|
|
1 |
1.175570505 |
½*√(3 – Φ) |
0.5877852525 |
60 |
Kanten |
|
|
2 |
1.236067978 |
Φ – 1 |
0.6180339890 |
30 |
Seitenflächendiagonalen, Dodekaederkanten |
|
|
3 |
2 |
1 |
1 |
90 |
30 Seitenflächendiagonalen, Ikosaederkanten 60 Raumdiagonalen |
|
|
4 |
2.319906465 |
½*√(7 – Φ) |
1.159953232 |
60 |
Raumdiagonalen |
|
|
5 |
2.802517076 |
½* Φ *√3 |
1.401258538 |
60 |
Raumdiagonalen |
|
|
6 |
2.828427124 |
√2 |
1.414213562 |
60 |
Raumdiagonalen |
|
|
7 |
3.236067977 |
Φ |
1.618033988 |
60 |
Raumdiagonalen |
|
|
8 |
3.442978646 |
½*√(7 + 3*Φ) |
1.721489323 |
60 |
Raumdiagonalen |
|
|
9 |
3.464101615 |
√3 |
1.732050808 |
10 |
Mittelpunktdiagonale des Dodekaeders |
|
|
10 |
3.804226065 |
√(2+ Φ) |
1.902113032 |
6 |
Mittelpunktdiagonale des Ikosaeders |
|
Total |
|
|
|
|
496 |
|
Tab. 1: Übersicht
4.4 Diagonalen einzeln
Es sind jeweils nur die Diagonalen einer bestimmten Länge gezeichnet. Dies in aufsteigender Reihenfolge gemäß der Tabelle 1.
Abb. 5.1: Kanten des Rhombentriakontaeders
Von den freien Punkten (Abb. 5.2) gehen keine Diagonalen der relevanten Länge aus.
Abb. 5.2: Kurze Seitenflächendiagonalen. Kanten des Dodekaeders
Die Figur der Abbildung 5.3 zerfällt in zwei nicht miteinander verbundene Teilfiguren. Die eine Figur (außen, 30 Kanten) ist ein Ikosaeder (Abb. 5.3a). Die innere Figur (60 Kanten) setzt sich aus den fünf Würfeln zusammen (Abb. 5.3b).
Abb. 5.3: 30 lange Seitenflächendiagonalen, Kanten des Ikosaeders. 60 Raumdiagonalen, je zwölf bilden einen Würfel
Abb. 5.3a: Außen ein Ikosaeder
Abb. 5.3b: Innen eine Figur aus fünf Würfeln
Abb. 5.4: Raumdiagonalen
Abb. 5.5: Raumdiagonalen
Von den freien Punkten (Abb. 5.6) gehen keine Diagonalen der relevanten Länge aus.
Abb. 5.6: Raumdiagonalen
Abb. 5.7: Raumdiagonalen
Abb. 5.8: Raumdiagonalen
Von den freien Punkten (Abb. 5.9) gehen keine Diagonalen der relevanten Länge aus.
Abb. 5.9: Mittelpunktdiagonalen des Dodekaeders
Von den freien Punkten (Abb. 5.10) gehen keine Diagonalen der relevanten Länge aus.
Abb. 5.10: Mittelpunktdiagonalen des Ikosaeders
Weblinks
Hans Walser: Rhombentriakontaeder
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/R/Rhombentriakontaeder/Rhombentriakontaeder.html
Hans Walser: Rhombentriakontaeder
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/R/Rhombentriakontaeder1/Rhombentriakontaeder1.html
Hans Walser: Hyperbolisches Rhombentriakontaeder