Hans Walser, [20180811]
Rochelle-Ellipse
Wir beschreiben eine spezielle Ellipse, die nach der franzšsischen Hafenstadt La Rochelle benannt ist.
Mitteilung von Daten, die leicht bewiesen werden kšnnen. Eine Spielerei.
Einem Quadrat der SeitenlŠnge 2 (Abb. 1a) setzen wir links und rechts ein rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck an (Abb. 1b). So entsteht ein nicht regelmŠ§iges Sechseck.
Das Quadrat hat den FlŠcheninhalt 4, das Sechseck den FlŠcheninhalt 6.
Abb. 1: Quadrat und Sechseck
Dem Sechseck passen wir eine Ellipse ein, welche die Seitenmitten berźhrt (Abb. 2). Diese Ellipse hei§t Rochelle-Ellipse.
Abb. 2: Die Ellipse
Die Ellipse hat die lange Halbachse und die kurze Halbachse b = 1. Daher kšnnen gleichseitige Dreiecke eingepasst werden (Abb. 3a). Es entsteht ein 60ˇ-Rhombus.
Fźr die Konstruktion der Brennpunkte tragen wir die Dreieckshšhe von den stumpfen Scheiteln aus ab (Abb. 3b). Die dazu benštigten Hilfskreise berźhren die Rhombenseiten in den Mittelpunkten.
Abb. 3: Gleichseitige Dreiecke. Brennpunkte
Die Brennpunkte liegen auch auf dem Umkreis des ursprźnglichen Quadrates (Abb. 4a).
Abb. 4: Brennpunkte. DIN-Rechteck
Daher kšnnen wir der Figur ein Rechteck mit dem SeitenverhŠltnis , ein DIN-Rechteck also, einpassen (Abb. 4b). †ber das DIN-Format siehe Walser (2013).
Wir drehen die Ellipse um 90ˇ. Die vier Schnittpunkte mit der ursprźnglichen Ellipse bilden ein Quadrat mit dem FlŠcheninhalt 3 (Abb. 5).
Abb. 5: FlŠcheninhalt 3
Die Brennpunkte finden wir auch, indem wir die Ellipse um ±30ˇ verdrehen (Abb. 6).
Abb. 6: Brennpunkte durch Verdrehen
Dies gibt Anlass zu einer umfassenden Figur (Abb. 7). Die Brennpunkte einer jeden Ellipse sind Schnittpunkte benachbarter Ellipsen. Siehe dazu [1] und [2].
Abb. 7: Rochelle-Rosette
Websites
[1] Hans Walser: Orthogonale Gro§kreise in isometrischer Darstellung
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/O/Orth_Grosskreise/Orth_Grosskreise.htm
[2] Hans Walser: Kreise und Ellipsen
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kreise_u_Ellipsen/Kreise_u_Ellipsen.htm
Literatur
Walser, Hans (2013): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-69-1.