Hans Walser, [20180708]

Rohre und Pizze

Anregung: Herget 2018

1     Worum geht es?

Wir gehen exemplarisch der Frage nach, was bei der Verdoppelung des Durchmessers geschieht.

2     Rohr

Wie verŠndert sich die KapazitŠt eines Rohres bei Verdoppelung des Durchmessers?

Die schulmŠ§ige Antwort besteht darin, dass sich die QuerschnittflŠche und damit im Wesentlichen auch die KapazitŠt vervierfachen. Stimmt das?

Dieser †berlegung liegt das Modell zugrunde, dass die FlŸssigkeit in einer Art Monoblock mit Ÿberall gleicher Stršmung durch die Ršhre rauscht.

Die Durchflussmenge pro Zeiteinheit ist dann ein Zylinder (rot in Abb. 1a), dessen Volumen sich bei Verdoppelung des Durchmessers vervierfacht (Abb. 1b).

Abb. 1: Homogene Stršmung

Dieses Modell ist falsch, wie man sofort merkt, wenn man den Rhein bei Basel schwimmend Ÿberqueren will. Am Ufer ist die Stršmung nicht fŸhlbar, nimmt dann aber mit der Entfernung vom Ufer dramatisch zu.

Warnung: Es ist verboten, den Rhein schwimmend zu queren. Ein Aufprall auf einen mittleren BrŸckenpfeiler ist lebensgefŠhrlich. Auch sind die Frachter zu trŠge, um zeitgerecht ausweichen zu kšnnen. Zudem ist von der KommandobrŸcke aus die unmittelbare Umgebung der WasseroberflŠche um das Schiff nicht einsehbar.

Man  muss sich als Schwimmer innerhalb der blauen Bojen halten. Aber auch dieser kleine Abstand vom Ufer ist hinreichend um die Zunahme der Stršmung zu spŸren.

Leonhard Euler verbrachte seine Schul- und Studienjahre in Basel, die Uni stand direkt am Rhein. Er arbeitete daher mit dem Modell einer Stršmung, die linear mit dem Abstand vom Rand zunimmt. Damit haben wir durchaus eine ProportionalitŠt im Sinne von Herget (2018).

Nach diesem Modell ist in einem Rohr die Durchflussmenge pro Zeiteinheit ein Kegel (rot in Abb. 2a). Verdoppelung des Durchmessers bewirkt eine Verachtfachung des Volumens (Abb. 2b).

Abb. 2: Lineare Zunahme der Stršmung

Man kann diskutieren, ob dieses Modell tragfŠhig ist. Jedenfalls ist es besser als das Modell mit der homogenen Stršmung. Ich halte das Modell der homogenen Stršmung im Unterricht fŸr gemeingefŠhrlich. Dies gilt insbesondere fŸr die vielen Vektorgeometrieaufgaben, wo ein Schwimmer mit einem konstanten Stršmungsvektor konfrontiert wird. Man muss immer damit rechnen, dass SchŸlerinnen und SchŸler fŸr bare MŸnze nehmen, was in der Schule erzŠhlt wird.

3     Che pizza!

Wie verŠndert sich der Preis einer Pizza bei Verdoppelung des Durchmessers (Abb. 3)? Der schulmŠ§ige Kommentar wŠre ein PreisverhŠltnis von 1:4.

Ein reales Beispiel: Eine 5-inch-Pizza kostet $13, eine 10-inch-Pizza $16. Und der Pizzaiolo meint, die kleinen Pizzen seien ein VerlustgeschŠft. Wie das?

Abb. 3: Kleine und gro§e Pizza

Der GeschŠftsfŸhrer: Die Hauptkosten sind Lokalmiete, Versicherungen, Personalkosten, Reinigung und Werbung. Diese Kosten sind unabhŠngig von der Pizza-Grš§e. Die Materialkosten sind marginal.

 

Literatur

Herget, Wilfried (2018): Accelerated Learning – unglaublich wirtschaftlich. ml mathematik lehren 208 | 2018. S. 48-49.