1 Worum geht es?

Spielerei mit Rohrprofilen.

2 Rohrsysteme

Die Rohre der Abbildungen 1, 2 und 3 haben einen runden, einen quadratischen und einen auf der Kante stehenden quadratischen Querschnitt.

Das erste Rohrstück liegt auf einer horizontalen Ebene, das zweite ebenfalls, aber im rechten Winkel zum ersten, und das dritte steht senkrecht.

Dir Rohrwinkel sind alle auf Gehrung gearbeitet.

Abb. 1: Runder Querschnitt

Abb. 2: Quadratischer Querschnitt

Abb. 3: Die ersten beiden Rohre liegen auf einer Kante

3 Problemstellung

Wir fragen bei jedem Rohrquerschnitt nach dem volumenmäßig größten Körper, der durch das Rohr geschoben werden kann.

4 Quadratischer Querschnitt

Beim quadratischen Querschnitt (Abb. 2) ist die Lösung offensichtlich ein Würfel mit gleicher Kantenlänge wie der Querschnitt (Abb. 4).

Abb. 4: Würfel

Die Kugel, welche in der Abbildung 2 durchgeht, ist die Inkugel des Würfels der Abbildung 4.

5 Rohre auf Kante

5.1 Versuch mit einem Würfel

Wenn die ersten beiden Rohre auf einer Kante liegen (Abb. 3) wird man ja wohl auch den Würfel auf eine Kante stellen müssen (Abb. 5).

Abb. 5: Versuch mit Würfel

So geht es nicht. Der Würfel ist zu groß. Wir müssten ihn in den Ecken drehen können. Da er aber dort verkantet, ist dies nicht möglich.

5.2 Oktaeder

Erinnern wir uns an das Oktaeder (Abb. 6).

Abb. 6: Oktaeder

Es funktioniert. Das Oktaeder füllt jeweils den ganzen Querschnitt eines jeden Rohrteils. Allerdings sind es nur die Kanten, welche die Rohrwände von innen berühren.

5.3 Rhombendodekaeder

Abb. 7: Rhombendodekaeder

Die Abbildung 8 zeigt das Rhombendodekaeder vergrößert.

Abb. 8: Rhombendodekaeder

Das Rhombendoekaeder berührt die Rohrwände jeweils auf Rhombenflächen. Im ersten Rohrteil sind es die gelben Rhomben, im mittleren Rohrteil die roten Rhomben und im senkrechten Rohrteil die blauen.

Die langen Diagonalen der Rhomben bilden ein Oktaeder, welches im Rhombendodekaeder sitzt. Es ist das Oktaeder der Abbildung 6.

Die Kugel, welche in der Abbildung 3 durchgeht, ist die Inkugel des Rhombendodekaeders.

5.4 Kleiner Würfel, aber vermutlich der größtmögliche

Die kurzen Diagonalen der Rhomben bilden einen Würfel, welcher ebenfalls im Rhombendodekaeder sitzt. Mit diesem Würfel kommen wir durch (Abb. 9). Ich vermute, dass dies der größte Würfel ist, mit dem wir ohne Anecken durchkommen.

Abb. 9: Kleiner Würfel

6 Runder Querschnitt

6.1 Kugel

Natürlich geht es mit der Kugel (Abb. 1 und 10). Allerdings berührt die Kugel die Innenseite der Rohre immer nur längs eines Großkreises. In den Ecken ist noch Luft drin.